5
5
7
9
11
12
15
18
Sintaxis
MEDIANA(número1;número2; ...)
Mediana
5
5
7
9
11
12
15
18
10
Variable
La mediana de esta serie de números es 10:
c)
Moda
La moda es el valor de la variable que más veces se repite, es decir, es el valor más común
o más de moda. La moda puede no existir, incluso si existe puede no ser única.
Función MODA
Devuelve el valor que se repite con más frecuencia en una matriz o rango de datos. Al
igual que MEDIANA, MODA es una medida de posición.
Sintaxis
MODA(número1;número2; ...)
Número1, número2, ... son de 1 a 30 argumentos cuya moda desea calcular. También
puede utilizar una matriz única o una referencia matricial en lugar de argumentos
separados con punto y coma.
Observaciones
-
Los argumentos deben ser números, nombres, matrices o referencias que contengan
números.
-
Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lógicos o celdas
vacías, estos valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirán las celdas con el valor
cero.
-
Si el conjunto de datos no contiene puntos de datos duplicados, MODA devuelve el
valor de error #N/A.
En un conjunto de valores, la moda es el valor que se repite con mayor frecuencia; la
mediana es el valor central y la media es el valor promedio. Ninguna de estas medidas de
la tendencia central tomada individualmente proporciona una imagen completa de los
datos. Supongamos que los datos están agrupados en tres áreas, la mitad de las cuales es
un valor bajo que se repite y la otra mitad consiste en dos valores elevados. Tanto
PROMEDIO como MEDIANA devolverán un valor situado en una zona central relativamente
vacía, y MODA devolverá el valor bajo dominante.
Ejemplo 1
La serie: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 la moda es 9
Ejemplo 2
La serie: 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 no tiene moda
Ejemplo 3
La serie: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9
tiene dos modas,
por ello es bimodal
5.2.4.2. La desviación típica y otras medidas de dispersión
La variación o dispersión de los datos numéricos es el grado en que estos tienden a
extenderse alrededor de un valor medio. Existen diferentes medidas de dispersión o
variación, las más utilizadas son el rango (expuesto en el numeral 5.2.1.), la desviación
media, el rango semiintercuartílico, el rango entre percentiles 10-90 y la desviación típica.
Cuartiles, Deciles y Percentiles
Si un conjunto de datos están ordenados por magnitudes, el valor central (o la media de
los dos centrales) que dividen al conjunto en dos mitades iguales, es la mediana.
Extendiendo esa idea, podemos pensar en aquellos valores que dividen al conjunto de
datos en cuatro partes iguales. Esos valores denotados por Q1, Q2 y Q3, son el primer
cuartíl, segundo cuartíl y tercer cuartíl, respectivamente. EL Q2 coincide con la mediana.
Similarmente, los valores que dividen a los datos en 10 partes iguales son los deciles,
representados por D1, D2,...,D
9
, mientras que los
valores que lo dividen en 100 partes
iguales son los percentiles, denotados por P1, P2,...,P
99
. El 5º decil y el 50º percentil
coinciden con la mediana. Los 25º y 75º percentiles coinciden con el primer y tercer
cuartiles.
Colectivamente, cuartiles, deciles y percentiles son los cuantiles.
Las medidas de dispersión tratan de medir el grado de dispersión que tiene una variable
estadística en torno a una medida de posición o tendencia central, indicándonos lo
representativa que es la medida de posición. A mayor dispersión menor representatividad
de la medida de posición y viceversa.
d)
Desviación media absoluta, o promedio de desviación
Indica las desviaciones con respecto a la media aritmética en valor absoluto. De una serie
de N números X1, X2,... X
n
definido por:
Donde
es la media aritmética de los números y
es el valor absoluto de las
desviaciones de las diferentes
de
. Valor absoluto de un número es el mismo número
sin signo asociado alguno, representado por dos barras verticales a ambos lados del
número. Así tenemos:
Ejercicio 04 (Desviación media)
Calcular la desviación media de los números: 4, 5, 8, 10, 13
Solución
1º Calculamos la media aritmética de los números, aplicando la fórmula (28) y la función
PROMEDIO de Excel:
2º Aplicando la fórmula (29) y la función PROMEDIO de Excel, calculamos la desviación media:
Si X1, X2;..., X
k
presentan con frecuencias f 1, f2,..., f
k
, respectivamente, la desviación media la
podemos representar como:
A veces, la desviación media es definida como desviaciones absolutas de la mediana u otro
promedio en lugar de la media. La desviación media respecto de la mediana es mínima.
Ejercicio 05 (Desviación media)
Calcular la desviación media de las siguientes series de números:
Serie
1:
11, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5
Serie
2:
10, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Solución
1º Aplicando la fórmula (28) y la función PROMEDIO de Excel, calculamos la media aritmética de
cada serie:
1º Calculamos la media aritmética de cada una de las series aplicando la fórmula (34) y la función
Promedio de Excel:
PROMEDIO(número1;número2;...)
Promedio
S-1
11
6
7
3
15
10
18
5
9.38
S-2
10
3
8
8
9
8
9
18
9.13
Variable
Sintaxis
2º Con la fórmula (35) y la función PROMEDIO de Excel, calculamos la desviación media de cada
una de las series:
Finalmente, la desviación media evidencia que la serie (2) tiene menos dispersión que la serie (1).
e)
Desviación típica o desviación estándar
La desviación estándar es una medida estadística de la dispersión de un grupo o población.
Una gran desviación estándar indica que la población esta muy dispersa respecto de la
media; una desviación estándar pequeña indica que la población está muy compacta
alrededor de la media.
La desviación típica o estándar para una población puede definirse como:
Donde a es un promedio que puede ser distinto de la media aritmética. De todas las
desviaciones típicas, la mínima es aquella para la que a =. El número de elementos de la
población esta representado por N.
Cuando la muestra es pequeña (muestra propiamente dicha), generalmente es utilizada la
siguiente relación:
Denominada desviación estándar muestral o desviación estándar corregida. El
número de elementos de la muestra lo representa n.
Cuando es necesario distinguir la desviación estándar de una población de la desviación
estándar de una muestra sacada de esta población, empleamos el símbolo s para la última
y para la primera. Así, s² y representarán la desviación estándar muestral y poblacional,
respectivamente.
f)
Varianza
La varianza mide la mayor o menor dispersión de los valores de la variable respecto a la
media aritmética. Cuanto mayor sea la varianza mayor dispersión existirá y por tanto
menor representatividad tendrá la media aritmética. La varianza se expresa en las mismas
unidades que la variable analizada, pero elevadas al cuadrado.
La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviación estándar
y viene dada, por tanto, por para una población o s² para una muestra:
Cuando la muestra es pequeña (muestra propiamente dicha), generalmente es utilizada la
siguiente relación:
Denominada varianza muestral o varianza corregida
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