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Ecuación de Slutsky



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Ecuación de Slutsky y Hicks
Investigación desarrollada y enviada por:
Leandro Ezequiel Brufman
Universidad Nacional del Sur
Bahía Blanca - Argentina
Leandrobrufman[en]yahoo.com.ar
Introducción: No son las matemáticas las que hacen al economista.
Debo confesar que en mi vida nunca imaginé que realizaría una monografía sobre una ecuación. ¿Cual es el
motivo que me impulsa a hacerla? Para entenderlo, primero debemos recordar que la ciencia moderna se funda
en una precomprensión del sentido de la realidad en términos de “aquello que puede ser calculado y medido”.
Lo real será lo “calculable”. 
Es por eso que el científico de la modernidad le asignaba tanta importancia a las matemáticas: “la naturaleza
está escrita en caracteres matemáticos” sentenció Galileo Galilei algún tiempo atrás. Considero que hoy en día
pocos científicos se atreverían a realizar una afirmación tan categórica.
Sin embargo, el hecho de que las matemáticas tengan una utilidad limitada y no sirvan para explicar todas las
conductas humanas, y en nuestro caso particular las conductas económicas, no significa que la ciencia
matemática no sea una herramienta provechosa a una ciencia social como lo es la Economía. 
Es por eso que me veo impulsado a realizar esta monografía, simplemente para mostrar a las matemáticas
como una herramienta que en ciertas ocasiones sirve para “calcular y medir” fenómenos económicos.
Esta monografía tiene como propósito principal exponer la relevancia de la ecuación de Slutsky en los términos
de Hicks, y mostrar las diferentes expresiones que puede adoptar la misma, explicando en cada caso las
diferencias y similitudes que puedan existir.
Conceptos básicos:
Efecto Sustitución y Efecto Renta
En economía no solo es relevante saber cual será la conducta de los agentes en determinadas circunstancias,
sino también saber como variará dicha conducta ante variaciones del entorno. ¿Cuál será la cantidad
demandada de un determinado bien ante variaciones de su precio? ¿Qué efecto tendrá una variación del salario
sobre la cantidad de empleo ofrecida? ¿Cuanto cambiara mi ahorro si cambia la tasa de interés? 
Para llegar a una respuesta es necesario dividir estos cambios en dos efectos que analizaremos a continuación:
el efecto sustitución y el efecto renta.
Cuando varía el precio de un bien se pueden observar estos dos efectos: varía tanto la tasa a la que puede
intercambiarse (“sustituir”) un bien por otro como el poder adquisitivo total de nuestra renta. La variación de la
cantidad demandada por una variación de la relación de intercambio entre los dos bienes se denomina efecto
sustitución o precio, mientras que la variación de la demanda provocada por una variación del poder adquisitivo
se denomina efecto renta o ingreso.
Efecto Sustitución a la Slutsky y a la Hicks.
Existen dos maneras de ver el efecto sustitución. Si lo consideramos a la Slutsky, estaremos hablando de la
variación que experimenta la demanda cuando varían los precios, manteniéndose constante el poder adquisitivo
inicial. Si lo consideramos a la Hicks, estaremos hablando de la variación que experimenta la demanda cuando
varían los precios, manteniéndose en un mismo nivel de utilidad, es decir, en una misma curva de indiferencia.
En esta monografía nos limitaremos únicamente a desarrollar el análisis basándonos en la postura de Hicks.
Deducción de la ecuación de Slutsky en la teoría del consumidor:
Como dije al principio, lo que interesa saber es cual será el nuevo equilibrio cuando varíe el entorno que lo
determina. Por lo tanto, debemos hallar las condiciones de equilibrio del sistema y luego diferenciarlo. Haciendo
esto estaremos viendo cuál será el cambio en las variables de decisión del consumidor cuando varían los datos
que las determinan, de modo de seguir cumpliendo las condiciones de equilibrio, es decir, de seguir
optimizando. 
En este apartado me limitaré a la maximización de la utilidad sujeta a restricción presupuestaria, también
llamado problema primal. De dicho proceso surgen funciones de demanda marshallianas, que expresan que la
cantidad demandada de un bien depende de los precios de los bienes en cuestión y del ingreso disponible,
(
)
I
p2
p
x
x
,
,
1
=
Veámoslo analíticamente:
Maximizar
)
,
(x
2
1
x
U
  sujeto a:
2
2
1
1
x
p
x
p
I
+
=
Como es un caso de maximización sujeto a restricción, formamos un lagrangiano:
)
(
)
,
(
2
2
1
1
2
1
x
p
x
p
I
x
x
U
L
-
-
+
=
l
Las condiciones de primer orden establecen que las derivadas parciales del lagrangiano deben ser cero
(aseguran la existencia de un extremo condicionado), mientras que las condiciones de segundo orden
establecen que dicho extremo es un máximo (y no un mínimo). El desarrollo de las condiciones de segundo
orden lo omitiremos, ya que asumiremos que se cumplen.
Así, las condiciones de primer orden son:
0
:
0
:
0
:
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
=
-
-
=
-
=
-
x
p
x
p
I
L
p
U
L
p
U
L
l
l
l
Diferenciando totalmente el sistema obtenemos:
0
0
0
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
=
-
-
-
-
=
-
-
+
=
-
-
+
dp
x
dp
x
dx
p
dx
p
dI
dp
dl
p
dx
U
dx
U
dp
dl
p
dx
U
dx
U
l
l
Este nuevo sistema puede ser expresado como el producto de dos matrices. Para verlo, dejaremos las
incógnitas en el primer miembro, dejando en el segundo los datos de las variaciones que han ocurrido.
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
dp
x
dp
x
dI
dx
p
dx
p
dp
dl
p
dx
U
dx
U
dp
dl
p
dx
U
dx
U
+
+
-
=
-
-
=
-
+
=
-
+
l
l
Ahora sí, lo expresamos en forma matricial:
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
+
-
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
×
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
-
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11
0
dp
x
dp
x
dI
dp
dp
dl
dx
dx
p
p
p
U
U
p
U
U
l
l
Habiendo expresado el sistema en forma de producto matricial, podemos resolverlo fácilmente utilizando la
regla de Cramer, mediante la cual podemos despejar cualquiera de las tres incógnitas, ya sea
1
dx
,
2
dx
o
l
d
.
Desarrollaré el caso para
1
dx
, siendo los demás casos análogos.
0
0
2
1
2
22
21
1
12
11
2
2
2
1
1
2
22
2
1
12
1
1
p
p
p
U
U
p
U
U
p
dp
x
dp
x
dI
p
U
dp
p
U
dp
dx
-
-
-
-
-
+
+
-
-
-
=
l
l
Por comodidad y para simplificar la notación, al denominador del cociente anterior lo llamaremos simplemente
D
, que se llama determinante orlado, siendo
ij
D
los menores complementarios de dicho determinante. El
hecho de plantear un problema de maximización implica necesariamente que el determinante orlado sea
positivo. Esto surge de las condiciones de segundo orden. Si el determinante es positivo, estamos en una
maximización, si es negativo, en una minimización.
Desarrollando el determinante del numerador obtenemos:
(
)
(
)
D
dp1
p2l
dp2
x2
dp1
x
dI
p1
U
U
p2
dp2
x
dp
x
dI
p
p2
dp2
dx
2
1
22
12
2
1
1
1
1
l
-
+
+
-
+
+
+
-
-
=
Esta expresión puede ser manipulada algebraicamente de modo que quede como la siguiente:
(
)(
)
D
p2
U
U
p1
dp2
x2
dp1
x
dI
p1
p2
dp2
dp1
p2
dx
12
22
1
2
1
-
+
+
-
+
+
-
=
l
l
A su vez, podemos observar que varios de los términos del numerador son iguales a los menores
complementarios. Así pues, podemos escribir la expresión como:
(-
)
D
dp2
x2
dp
x
dI
D
dp2
D
dp
D
dx
1
1
31
21
1
11
1
+
+
+
+
=
l
l
(1)
Como lo que nos interesa ver es cuanto varía
1
x
cuando varían los precios (y por lo tanto el poder adquisitivo
del ingreso), lo que queremos hallar es, por ejemplo,
1
1
p
x
. Este cociente representa el efecto total directo (se
podría también calcular el cruzado). Dicho efecto total se desagrega en los dos anteriormente mencionados.
La última expresión (1) a la que arribamos tras diferenciar el sistema de equilibrio nos permite apreciar ambos
efectos. Observemos que al derivar
1
x
respecto de
1
p
, es decir, hacer
1
1
p
x
, el segundo término de (1) se
vuelve cero, de forma que:
D
D
x
D
D
p1
x
31
1
11
1
+
=
l
He aquí la expresión del efecto total directo, donde el primer termino expresa el efecto sustitución y el segundo
representa el efecto ingreso. Para afirmar esto nos basamos en que el efecto sustitución exige que nos
mantengamos en la misma curva de indiferencia, de modo que:
0
2
2
1
1
=
+
dx
U
dx
U
Como en el equilibrio maximizador el cociente entre las utilidades marginales debe ser igual al cociente entre
los precios,
2
1
2
1
p
p
U
U
=
entonces podemos decir que:
0
2
2
1
1
2
2
1
1
=
+
=
+U
dx
p
dx
p
dx
dx
U
Si observamos el sistema diferenciado totalmente podemos ver que 
2
2
1
1
2
2
1
1
dp
x
dp
x
dI
dx
p
dx
p
+
+
-
=
-
-
Como
0
2
2
1
1
=
+
dx
p
dx
p
podemos decir que
0
2
2
1
1
=
+
+
-
dp
x
dp
x
dI
Por lo tanto el tercer miembro de (1) se vuelve cero. Si queremos ver el efecto sustitución propio precio,
entonces el segundo termino de (1) también se hará cero. Finalmente, el efecto sustitución, es decir la variación
de la cantidad demandada ante variaciones del propio precio de modo que el nivel de utilidad no varíe, es:
D
D
p1
x
dU=
11
0
1
l
=
Para observar el porque el efecto renta es el segundo miembro debemos realizar un procedimiento mucho mas
sencillo. Si pensamos en el efecto renta como las variaciones de la cantidad demandada al variar el poder
adquisitivo
÷
ø
ö
ç
è
æ
I
x
1
por el total de la cantidad demandada, entonces nos queda que todos los demás miembros
de (1) se vuelven cero cuando hacemos
I
x
1
, quedando únicamente al que multiplica a
dI
que es
D
D
31
-
.
A
eso lo debemos multiplicar por la cantidad demandada, que es
1
x
Así llegamos a deducir el Efecto Slutsky en términos de Hicks.
Como ya dije anteriormente, podemos realizar todo un procedimiento similar al expuesto para hallar el efecto
total cruzado.
Para resumir esta parte, podemos dejar expresados los efectos, tanto en forma matricial como en su forma
diferencial.
Efecto Total Directo:
En forma matricial:
D
D
x
D
D
p1
x
31
1
11
1
+
=
l
En forma diferencial:
I
x
x
p1
x
p1
x
dU=0
-
=
1
1
1
1
Efecto Total Cruzado
En forma matricial:
D
D
x2
D
D
p2
x
31
21
1
+
=
l
En forma diferencial:
I
x
x2
p2
x
p2
x
dU=0
-
=
1
1
1
Deducción de la ecuación de Slutsky con demandas compensadas:
En el apartado anterior mostré la forma que adopta la ecuación de Slutsky cuando utilizamos el problema
primal. Sin embargo no es la única manera de llegar; también puede hacerse planteando un problema dual, es
decir, minimizar el gasto sujeto a lograr un determinado nivel de utilidad. Mediante este procedimiento se
pueden obtener funciones de demanda compensadas o hicksianas,
(p
)
U
p2
h
h
,
,
1
=
Si se presta atención se puede observar que la demanda compensada no es otra cosa que el efecto sustitución
en los términos de Hicks, ya que el nivel de utilidad no varió. Por lo tanto ya estamos en condiciones de escribir
como será la ecuación de Slutsky con demandas compensadas. Veámoslo para el caso del efecto total directo
del bien 1. Dado que
0
1
1
=
p
x
dU
simplemente representa la variación de la cantidad demandada del bien 1 ante
variaciones de su precio de modo que la utilidad no varíe, podríamos expresar
0
1
1
=
p
x
dU
como
1
1
p
h
, ya que la
demanda compensada esta sujeta a un nivel de utilidad fijo, de modo que
0
=
dU
. De esta forma podemos
escribir la ecuación de Slutsky como
I
x
x
p1
h
p1
x
-
=
1
1
1
1
.
También se puede arribar a este resultado planteando el problema desde otra perspectiva. Pero para poder
entender el procedimiento que realizaré a continuación es necesario recordar ciertas identidades y propiedades
existentes entre el problema primal y el dual.
En el dual existe una función de gasto
e
que es el nivel mínimo de gasto necesario para alcanzar un
determinado nivel de utilidad, en función de cuales sean los precios: 
(
)
(p
)
(p
)
U
p2
h2
p2
U
p2
h
p
U
p2
p1
e
,
,
,
,
,
,
1
1
1
1
×
+
×
=
.
Además dicha función cumple con el Lema de Shepard que afirma que la derivada de la función gasto respecto
de un precio es igual a la demanda compensada del bien cuyo precio varió. En términos matemáticos:
(
)
U
p2
p
h
p
e
j
j
,
,
1
=
(ver demostración en el Apéndice¹). 
Una importante relación existente entre el problema primal y el dual es la identidad ingreso-gasto. Si el nivel
máximo de utilidad alcanzado en el problema primal es el nivel del parámetro de la restricción del problema dual
de minimización, podemos aseverar que el nivel de gasto minimizado coincide exactamente con el ingreso del
consumidor en el problema primal de maximización. 
Es decir, el gasto mínimo necesario para alcanzar un nivel dado de utilidad es igual al ingreso del primal que
alcanza dicho nivel de utilidad.
Aplicando todo esto, podemos llegar a la ecuación de Slutsky de la siguiente manera:
Sabemos que cuando se maximiza la utilidad también se esta minimizando el gasto (ver Apendice²). Entonces,
la demanda compensada es igual a la demanda marshalliana para
U
U
=
(p
)
(
))
(p
U
p2
p1
e
p2
x
U
p2
h
,
,
,
,
,
,
1
1
1
1
º
Ahora derivamos la demanda compensada respecto de un precio, utilizando la regla de la cadena, ya que lo que
antes era ingreso ahora es gasto y depende de los precios. Yo aquí derivaré respecto del propio precio.
1
1
1
1
1
1
p
e
e
x
p
x
p
h
×
+
=
Aplicando el Lema de Shepard y recordando la identidad existente entre el gasto del dual y el ingreso del primal
podemos reexpresar la última ecuación como:
1
1
1
1
1
1
h
I
x
p
x
p
h
×
+
=
Dado que en el punto de optimización,
j
j
x
h
=
(recordar que cuando se maximiza la utilidad se esta
minimizando el gasto), podemos escribir la última ecuación, previo reordenamiento de términos, como sigue:
1
1
1
1
1
1
x
I
x
p
h
p
x
×
-
=
Que no es otra cosa que lo que planteamos intuitivamente al comienzo del apartado.
Análogamente al apartado anterior, el efecto cruzado será:
2
1
2
1
2
1
x
I
x
p
h
p
x
×
-
=
Ecuación de Slutsky para la oferta de trabajo:
“La teoría de la determinación de los salarios en un libre
mercado no es sino un caso especial de la teoría general del
valor. Los salarios son el precio del trabajo”
J.R. Hicks, The Theory of Wages (1932)
Hasta ahora estuvimos derivando la ecuación de Slutsky con un supuesto implícito: que el ingreso estaba dado
exógenamente. 
En la realidad las personas obtienen su ingreso vendiendo cosas, ya sean activos de su propiedad o su fuerza
laboral. Es decir, por un lado demandan bienes y por otro lado los ofrecen. La diferencia entre lo que demandan
y lo que ofrecen se denomina demanda neta. Si ofrecen más de lo que demandan entonces la demanda neta es
negativa. En tal caso se dice que son oferentes netos.
Los bienes que pueden ofrecer las personas no son ilimitados, sino que son escasos. Incluso la fuerza laboral
es limitada. Por lo tanto podemos afirmar que los agentes parten con dotaciones limitadas de bienes. 
Cuando varían los precios, varían los precios tanto de los bienes que consume como de los que ofrece. Es
decir, se añade un nuevo efecto al análisis que veníamos efectuando. Por un lado, cambian los precios
relativos, por otro lado cambia el poder adquisitivo del ingreso. Pero como el ingreso ahora esta determinado
endógenamente, entonces la renta monetaria también varía junto con la variación de los precios, resultando
necesario saber si el agente es demandante neto u oferente neto del bien en cuestión. 
Por ende es preciso volver a hallar la ecuación de Slutsky, esta vez teniendo en cuenta este nuevo efecto,
denominado efecto-renta-dotación. Para hacerlo partiré del problema primal de maximización.
Las personas poseen una cantidad limitada de tiempo para repartir entre dos actividades, trabajo u ocio, de
modo que
L
R
R
+
=
donde
R
es la dotación de tiempo (24 horas por día, por ejemplo),
R
es el tiempo
destinado a ocio y
L
es el tiempo destinado a trabajar. El ocio es un bien, mientras que el trabajo puede ser
considerado un “mal”. Sin embargo, el trabajo es lo que provee ingreso para disfrutar de otros bienes. Por lo
tanto el objetivo del consumidor es maximizar la utilidad resultante de consumir ocio y de consumir otros bienes
representados por el ingreso
(
). Queda claro que la parte del ocio que no consumimos la dedicamos al
Y
trabajo, por lo tanto al obtener la demanda de ocio estamos a la vez obteniendo la oferta de trabajo.
Analíticamente tenemos que:
(
)
(R
)
Y
R
w
Y
SA
R
Y
U
Max
+
-
=
:
,
Es decir, la restricción implica que el ingreso que el individuo tendrá para consumir otros bienes provendrá de
su salario por el tiempo que trabaje mas un ingreso no laboral exógenamente dado proveniente, por ejemplo, de
familiares o alquileres.
Para hallar la combinación óptima entre ingreso y ocio debemos plantear el ya conocido lagrangiano y luego
hallar las condiciones de primer orden:
(
)
(
)
Y
wR
R
w
Y
R
Y
U
L
-
-
+
+
=
l
,
Las condiciones de primer orden serán:
0
0
0
=
-
-
+
=
=
-
=
=
-
=
Y
wR
R
w
Y
L
U
L
w
U
L
Y
Y
R
R
l
l
l
   
l
l
=
=
Y
R
U
w
U
Las condiciones de segundo orden aseguran la convexidad de las curvas de indiferencia, lo que a su vez
asegura que la solución sea un máximo y no un mínimo. El desarrollo de las condiciones de segundo orden lo
obviaré y asumiré que se cumplen.
Partiendo de las condiciones de primer orden se puede hallar la demanda de ocio, es decir, la oferta de trabajo
(recordar que lo que no es ocio, es trabajo). La demanda de ocio dependerá del salario vigente y del ingreso no
laboral dado. Es decir,
(w,
), por lo tanto la oferta de trabajo será:
Y
R
R
=
)
,Y
(w
R
R
L
-
=
.
Hagamos un recuento de las ecuaciones que tenemos y veamos que manipulaciones matemáticas podemos
hacer para hallar el efecto total desagregado en efecto sustitución, renta y renta-dotación.
Ecuaciones:
(1)
)
,Y
(R
U
U
=
es la ecuación de una curva de nivel
(2)
Y
wR
R
w
Y
+
-
=
es la ecuación de la restricción presupuestaria ya vista.
(3)
(w,
) es la ecuación de la demanda de ocio
Y
R
R
=
Lo que queremos hallar ahora es cuanto variará la demanda de ocio (y por lo tanto la oferta de trabajo), cuando
varían los precios
÷
ø
ö
ç
è
æ
w
R
, en este caso el único precio es
w
(nótese que
w
es tanto la retribución al trabajo
como el costo del ocio). El efecto total deberá poder desagregarse en los tres efectos antes dichos.
Comenzare diferenciando totalmente las tres ecuaciones:
(1)
0
=
+
=
dy
U
dr
U
U
d
Y
R
como
l
l
=
=
Y
R
U
w
U
(surge de las condiciones de 1° orden), entonces:
(wdr
)
0
0
=
+
=
\
=
+
=
dy
dU
dy
wdr
U
d
l
l
l
; como
(wdr
)
0
0
=
+
Þ
>
dy
l
. Recordar que
l
es mayor 
que cero implica que la restricción es efectiva, es decir, que la solución se da en la frontera del conjunto
alcanzable.
(2)
Y
d
wdr
dwR
R
dw
dy
+
-
-
=
Reordenando términos la expresión queda así:
wdr
dy
dwR
dw
R
Y
d
+
=
-
+
Como
(wdr
)
0
=
+
dy
entonces
0
=
-
+
dwR
dw
R
Y
d
Reordenando términos tenemos que:
)
(R
R
dw
Y
d
-
-
=
(3)
Y
d
Y
R
dw
w
R
dr
×
+
×
=
Dado que
)
(R
R
dw
Y
d
-
-
=
, entonces
)
(R
R
dw
Y
R
dw
w
R
dr
-
-
×
+
×
=
Dividiendo ambos miembros por
dw
, tenemos que
(R
)
R
Y
R
w
R
dw
dR
dU=0
-
×
-
=
(4)
Quizás llame la atención el miembro a la izquierda de la igualdad. ¿Por qué planteo la derivada de modo que
nos mantengamos en una misma curva de indiferencia? Sencillamente porque al inicio planteé la ecuación (1),
que es la ecuación de una curva de indiferencia. Por lo tanto todo el análisis esta planteado de modo que
0
=
dU
. Eso fue lo que nos permitió afirmar que
(wdr
)
0
=
+
dy
, entre otras cosas.
Reordenando los términos de (4) nos queda:
(R
) o lo que es lo mismo:
R
Y
R
dw
dR
w
R
dU=0
-
×
+
=
R
Y
R
R
Y
R
dw
dR
w
R
dU=0
×
-
×
+
=
He aquí los tres efectos antes mencionados. El efecto total
÷
ø
ö
ç
è
æ
w
R
es igual al efecto sustitución
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=0
dU
dw
dR
mas el efecto-renta-dotación
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
Y
R
R
menos el efecto-renta ordinario
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
Y
R
R
Ecuación de Slutksy en la elección intertemporal:
Hasta ahora estuvimos analizando la ecuación de Slutsky para la demanda de bienes (ropa, comida, ocio, etc.)
suponiendo que el individuo consume toda su renta en un único periodo, no dejando cabida al ahorro para
consumos futuros. 
En este apartado nos adentraremos en la elección intertemporal, es decir, el análisis de la conducta del
consumidor respecto a las decisiones relacionadas con el ahorro y el consumo a lo largo del tiempo. Éste
análisis no difiere en esencia de la elección individual vista anteriormente. En vez de buscar la combinación de
bienes óptima que maximiza la utilidad del agente dadas sus preferencias, buscamos la combinación de cestas
(
1
0
,
C
C
), integradas por distintos bienes, que consumirá en cada periodo dada su preferencia temporal.
En la elección intertemporal también existen supuestos simplificadores:
1)
Solo existen dos periodos de tiempo, el hoy, y el mañana.
2)
Los ingresos del individuo están dados (son dotaciones), teniendo un ingreso para cada periodo,
0
Y
e
1
Y
para los periodos cero (hoy) y uno (mañana) respectivamente.
3)
La posibilidad de pedir prestado dinero o prestar dinero a una tasa de interés nominal
i
es la bisagra
existente entre los dos periodos de tiempo.
4)
El nivel de precios es constante e igual a 1 en ambos periodos.
Matemáticamente el problema aquí se puede plantear como sigue:
(
)
(
)
(
)
i
C
Y
Y1
C1
SA
C
C
U
Max
+
×
-
+
=
1
,
0
0
1
0
Aquí la restricción implica que el consumo futuro no puede ser mayor que el ingreso futuro
1
Y
mas el ahorro en
el periodo cero junto a los intereses generados por ese ahorro. La restricción podría manipularse
matemáticamente para expresarla en términos del consumo presente. Es común que se escriba la restricción
expresándola en términos de valor actual que es una buena forma de expresar la restricción presupuestaria
intertemporal debido a que mide el futuro en relación con el presente:
(
)
(
)
i
C1
C
i
Y1
Y
+
+
=
+
+
1
1
0
0
Para hallar la combinación óptima entre consumo presente y consumo futuro debemos seguir los ya familiares
pasos de la maximización sujeta a restricción. Primero formamos el lagrangiano:
(
)
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
çY
è
æ
-
+
-
+
+
0
1
1
0
1
0
1
,
:
C
i
C
Y
C
C
U
L
l
Las condiciones de primer orden serán:
(
)
(
)
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
=
-
+
-
+
=
=
+
-
=
=
-
=
C
i
C
Y
Y
L
i
U
L
U
L
C
C
l
l
l
 
(
)
i
U
U
C1
C
+
=
=
1
0
l
l
Las condiciones de segundo orden, al igual que en los apartados previos, supondré que se cumplen. El proceso
para hallar la ecuación de Slutsky en la elección intertemporal es idéntico al utilizado en el apartado de oferta de
trabajo.
De las condiciones de equilibrio se pueden hallar demandas de consumo temporal, que dependen de la tasa de
interés y las dotaciones de renta:
(i
)
1
0
0
0
,Y
,Y
C
C
=
.
Debido a que poseemos dotaciones, la ecuación de Slutsky tendrá un efecto renta-dotación. Así como en el
apartado anterior hablábamos en términos de oferentes netos y demandantes netos, aquí podemos hacer lo
mismo, en términos de oferentes neto de ahorro (prestamista) o demandantes netos de ahorro (prestatario). 
Si recordamos que el ahorro (o endeudamiento) es
(
) podríamos llegar a “adivinar” por mera intuición
0
0
C
Y
-
como lo hicimos en el apartado con demandas compensadas, y tomando como referencia la ecuación para la
oferta laboral, que la ecuación de Slutsky es:
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