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Interés Simple e Interés Compuesto



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5  1VF=VA+ni[6]  =(1+)VFVAni
Interés Simple e 
Interés Compuesto
El interés pagado y recibido puede considerarse como simple o compuesto.
1.
Interés Simple
2.
Valor actual  
3.
Tasas equivalentes
4.
Descuento
5.
Interés Compuesto
6.
Valor actual a interés compuesto
7.
Interés simple versus interés compuesto
8.
Tasas equivalentes
9.
Descuento Compuesto
10. Equivalencia de capitales a interés compuesto 
11. Estimaciones duplicando el tiempo y la tasa de interés
12. Tasa variable durante el período que dura la deuda
13. Ejercicios desarrollados
1. Interés Simple
El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el
interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica
causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base.   
Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de
interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.
La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento
posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año). Ver
en éste Capítulo, numeral 2.3.
Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son
cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza. 
Fórmula general del interés simple:
1.1. Valor actual  
La longitud de una escalera es la misma contada de arriba abajo como de abajo arriba. El valor futuro VF
puede considerarse como la cima vista desde abajo y el valor actual VA como el fondo visto desde arriba. 
El valor actual de una cantidad con vencimiento en el futuro, es el capital que a un tipo de interés dado,
en  períodos también dados, ascenderá a la suma debida.
Si conocemos el monto para  tiempo y  tasa dados, el problema será entonces hallar el capital,  en realidad
no es otra cosa que el valor actual del monto. Derivamos el VA de la fórmula general: 
Siendo ésta la fórmula para el valor actual a interés simple, sirve no sólo para períodos de año, sino para
cualquier fracción del año.
El descuento es la inversa de la capitalización. Con ésta fórmula calculamos el capital equivalente en  un
momento anterior de  importe futuro. 
Otras fórmulas derivadas de la fórmula general:
Si llamamos I a  los intereses percibidos en  el período considerado, convendremos:
[7]  I=VF-VA[8]  I=VAni[9]  VF=VA+I[10] I i=VAn1[11]   VF-VAi=n[12]I  n=VAi[13]VF-1VA  n=i
La diferencia entre VF y VA es el interés (I) generado por VA.
Y también, dada la fórmula general, obtenemos la fórmula del importe de los intereses:
I = VA(1+n*i) - VA  = VA + VA*n* i - VA
I = (principal)*(tasa de interés)*(número de períodos)
(Inversiones)  I
= monto total hoy - inversión original
(Préstamos)   I
= saldo de deuda - préstamo inicial
Con la fórmula [8] igual calculamos el interés (I) de una inversión o préstamo. 
Sí sumamos el interés I al principal VA, el monto VF o valor futuro será.
  o
VF = VA(1+i*n)
Despejando éstas fórmulas obtenemos el tipo de interés y el plazo: 
     
      
  
El tipo de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es
anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en meses, etc.). Siendo
indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa.
Al utilizar tasas de interés mensual, el resultado de n  estará expresado en meses. En estas fórmulas la
tasa de interés (i) está indicada en forma decimal.
Nomenclatura:
I
Interés expresado en valores monetarios
VA
Valor actual, expresado en unidades monetarias 
VF
Valor futuro, expresado en unidades monetarias
n
Periodo de capitalización,  unidad de tiempo, años, meses, diario,...
i       
Tasa de interés, porcentaje anual, mensual, diario,                   llamado también
tasa de interés real.
Ejercicio 11  (VA a interés simple)
Encontrar el valor actual, al  5% de interés simple, de UM 1,800 con vencimiento en 9 meses.
Solución:
VF= 1,800;     i = 0.05;     n = 9/4;     VA = ?
1,800[6]    UM  1,617.981 +(94×0.05)VA300  UM  937.500.04*8VA1234VF=VA+(VA×i)+(VA×i)+(VA×i)+(VA×i)=2,000+(2,000×0.08)+(2,000×0.09)+(2,000×0.10)+(2,000×0.11)=  UM  2,760VF
Ejercicio 12   (Interés simple - Inversión inicial)
¿Cuál fue nuestra inversión inicial, si hemos obtenido  utilidades de  UM 300, después de 8 meses, a
interés simple y con el 48% de tasa anual?
Solución:
I = 300;     n = 8     i = 0.04 (0.48/12);     VA =?
[8]  300 = VA(0.04*8), de donde:
Ejercicio 13  (VF a interés simple)
Si tenemos UM 10,000 y lo invertimos por un año con el 28% de interés anual. ¿Cuánto dinero tendremos
al finalizar el año? 
Como es normal exigiremos la devolución del monto inicial incrementado algo más  mensual,  que
compense la pérdida del valor de la moneda, el riesgo corrido y el  interés del dinero.  Generalmente es 
preferible utilizar el dinero  en el presente y no en el futuro.  
El incremento es el interés y es consecuencia de la capacidad que tiene el dinero de «producir más
dinero”. El interés como todo precio, depende del mercado y de las condiciones de cada negociación,
fundamentalmente del plazo y del riesgo. 
Solución:
VA = 10,000;   i = 0.28;   n = 1;   VF =?
[5]  VF = 10,000  (1+ 0.28%*1) = UM 12,800
Con este sencillo ejemplo demostramos que es indiferente recibir hoy UM 10,000 ó UM 12,800 dentro de
un año. 
Ejercicio 14  (VF a interés simple)
Necesitamos saber el monto que retiraríamos dentro de 4 años, sí  hoy invertimos UM 2,000 al 8% para el
primer año con incrementos del 1% para los próximos tres años.
En estos casos no aplicamos directamente la fórmula general del interés simple, por cuanto el tipo de
interés en cada período es diferente. Debemos sumar al principal los intereses de cada período, calculado
siempre sobre el capital inicial pero a la tasa vigente en cada momento.
Solución:  
VA = 2,000;   n = 4;    i
1...4
= 0.08, 09, 0.10 y 0.11;   VF =?
Al ejemplo corresponde la relación siguiente:
Respuesta:
El monto a retirar es UM 2,760.00
Ejercicio 15 (Interés simple: interés y tasa de interés)
5,900-15,000[11] ==0.181 i
El día de hoy obtenemos un préstamo por UM 5,000 y después de un año pagamos UM 5,900. Determinar
el interés y la tasa de interés.
Solución:   
VA = 5,000;  n = 1;  VF = 5,900;  I =?  i =?;  
[7] I = 5,900 - 5,000 =  UM  900
Respuesta:
El interés es UM 900 y la tasa de interés 18%.          
Ejercicio 16 (Interés simple ordinario y comercial)
Calcular el interés simple ordinario o comercial y exacto de un préstamo por UM 600 con una tasa de 
interés del 15% durante un año. 
Solución: (operamos en base anual)       
VA = 600;    n
COMERCIAL
= 1;    n
EXACTO
(30/365)*12 = 0.9863;    i = 0.15;    I =?  
[8] I (ORDINARIO)
= 600*0.15*1
= UM 90.00
[8] I (EXACTO)     
= 600*0.15*0.9863
= UM 88.77
Con el interés simple ordinario pagamos mayores cantidades de dinero que con el exacto, en casos
como éste, de sumas pequeñas, la diferencia es mínima;  en montos mayores ésta  puede convertirse en
fuente de pagos mayores. Por lo general los bancos y empresas de venta al crédito operan aplicando el
interés ordinario.
Ejercicio 17  (Interés y VF a interés simple)
Determinar los intereses y el capital final producido por UM 10,000 con una tasa del 18% en un año.
Solución:
 
VA = 10,000;   i = 0.18;   n = 1;   I =?
[5] I = 10,000*1*0.18 = UM 1,800
Calculado el importe de los intereses, es posible determinar el importe del capital final:
[7]  VF = 10,000 + 1,800 = UM 11,800
Respuesta: Los intereses producidos son UM 1,800 y el capital final UM 11,800.
Ejercicio 18 (Interés simple, tasa de interés, tasa periódica y tasa global)
En la  fecha obtenemos un préstamo por UM 5,000 para ser pagado después de 3 años a UM 9,800.
Deseamos saber: 1º El interés y 2º la tasa de interés periódica y global del préstamo.
Solución
VA = 5,000;  VF = 9,800;   n = 3;    I =?;    i =?
1º Encontramos el interés con la fórmula [7]:
[7]  I = 9,800 - 5,000 = UM  4,800
2º Con la fórmula [11]  obtenemos la tasa periódica  anual y global del préstamo:
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