Aplicando la fórmula del rédito calculamos la tasa global:
Tasa global del préstamo
Respuesta:
El interés es UM 4,800, la tasa anual 32% y la tasa global 96%.
1.2. Tasas equivalentes
Generalmente las tasas de interés vienen expresadas en términos anuales; en la realidad no siempre se
presentan así, en la mayoría de veces, la acumulación de los intereses al capital inicial es en períodos más
pequeños (meses, trimestres, semestres, semanas, días, etc.).
Modificar la frecuencia de cálculo de intereses, ¿significa beneficio o perjuicio? A este respecto, cualquiera
sea el número de veces que los intereses son calculados, al final el importe total es el mismo, es decir, los
resultados finales de la negociación no varían.
Si cambiamos la frecuencia (m) de cálculo de los intereses debe cambiarse también el importe de la tasa
de interés aplicado en cada caso. Es así como surge el concepto de tasas equivalentes, que significa: dos
tasas expresadas en distintas unidades de tiempo, son equivalentes cuando aplicadas a un capital inicial
durante un período producen el mismo interés o capital final.
Ejercicio 19 (Tasa equivalentes)
Calcular el monto resultante de invertir UM 1,000 durante 4 años en las siguientes condiciones:
Solución: (m = número de períodos de capitalización)
VA = 1,000; i
A...B
= 0.15, 0.075 y 0.0125; n = 4; m
A...B
= 1, 2 y 12; VF
A...B
=?
a) Interés anual del 15%
[5] VF
A
= 1,000 x (1 + (4 x 0.15) )
= UM 1,600
b) Interés semestral del 7.5%
[5] VF
B
= 1,000 x (1 + 4 x 0.075 x 2)
= UM 1,600
c) Interés mensual del 1.25%
[5] VFC = 1,000 x (1 + 4 x 0,0125 x 12) = UM 1,600
Ejercicio 20 (Tasa equivalentes)
Tipos equivalentes a tasas del 18% anual.
Base temporal
Calculo
Tasa
periódica
Año
18/1
18.00%
Semestre
18/2
9.00%
Cuatrimestre
18/3
6.00%
Trimestre
18/4
4.50%
Mes
18/12
1.50%
Día
18/365
0.05%
El resultado obtenido es independiente del tipo de base temporal tomado. Sí expresamos el interés en
base semestral, el plazo irá en semestres, etc.
Base temporal
Cálculo
[1] I = VA*i*n
Interés
Año
10,000*0.18*1
1,800.00
Semestre
10,000*0.09*2
1,800.00
Cuatrimestre
10,000*0.06*3
1,800.00
Trimestre
10,000*0.045*4
1,800.00
Mes
10,000*0.015*12
1,800.00
Día
10,000*0.049315*365
1,800.00
1.3. Valor actual de deudas que devengan interés
En los casos de cálculo del importe futuro, es necesario conocer primero el monto total de la cantidad a
pagar. Cuando calculemos el valor actual de deudas que no devengan interés, el monto total a pagar es
el valor nominal de la deuda. Si por el contrario, buscamos el valor actual de deudas que devengan
interés, el monto total a pagar es igual al valor nominal de la deuda más el interés acumulado.
Visto así, las deudas pueden clasificarse como: a) sin interés; y b) con interés. En el primer caso, el valor
futuro (VF) es el valor nominal de la deuda; en el segundo caso, el VF es igual al valor nominal de la deuda
más el interés acumulado durante la vigencia de la misma.
Ejercicio 21 (Pagaré)
Un empresario entregó su pagaré para pagar UM 5,000 dentro de un año con 8% de interés. A simple vista
la cantidad a abonar es:
5,000 + (0.08 * 5,000)= UM 5,400
El valor actual de UM 5,400 es:
Retornamos al inicio, esto es, el valor nominal de la deuda.
Cuando el tipo de interés para obtener el valor actual es diferente al de la deuda, el valor actual será
diferente del valor nominal de la deuda. En estos casos, efectuaremos dos operaciones separadas y
distintas:
1º.
Calcular el VF, la cantidad total al vencimiento, utilizando la fórmula [5]; y
2º.
Calculando el VA de esta cantidad VF al tipo designado de interés, por medio de la fórmula [6].
Ejercicio 22 (VA de un pagaré)
Un pequeño empresario tiene un pagaré por UM 2,000 con vencimiento a los 90 días, devenga el 6% de
interés. Calcular el valor actual a la tasa del 8%.
Solución:
VA = 2,000; n = (3/12) 0.25; i = 0.06; VF =?
La solución de este caso es posible hacerlo en dos partes separadas:
1º Calculamos el monto a pagar a los 90 días, con la fórmula [5]:
[5] VF = 2,000 (1 + 0.25*0.06] = UM 2,030
Luego, el librador del pagaré pagará al vencimiento la suma de UM 2,030.
2º Calculamos el VA al 8% a pagar dentro de 90 días:
Así, el valor actual al 8% del pagaré por UM 2,000, devenga el 6% de interés y vence a los 90 días es UM
1,880.
Ejercicio 23 (VA de un pagaré con diferente tasa de interés)
Calcular el valor actual del mismo pagaré, si el precio del dinero es el 5%.
Solución:
VF = 2,030; n = 0.25; i = 0.05; VA =?
Así, el valor actual del pagaré al 5% es UM 1,933.
1.4.
Descuento
La tasa de descuento fijada por los bancos centrales por realizar el redescuento resulta de suma
importancia para la economía, pues ellas inciden sobre el conjunto de tasas de descuento y de
interés cobradas en un país durante períodos determinados.
La tasa de descuento es la razón del pago por el uso del dinero devuelto al liquidar la operación.
Descuento, es el proceso de deducir la tasa de interés a un capital determinado para encontrar el valor
presente de ese capital cuando el mismo es pagable a futuro. Del mismo modo, aplicamos la palabra
descuento a la cantidad sustraída del valor nominal de la letra de cambio u otra promesa de pago, cuando
cobramos la misma antes de su vencimiento. La proporción deducida, o tasa de interés aplicada, es la
tasa de descuento.
La operación de descontar forma parte de las actividades normales de los bancos. A estos acuden los
clientes a cobrar anticipadamente el monto de las obligaciones de sus acreedores; los bancos entregan
dichas cantidades a cambio de retener tasas de descuento, esto forma parte de sus ingresos. Los bancos
comerciales, a su vez, necesitan descontar documentos, en este caso, son tomados por el banco central,
tal operación es denominada, redescuento.
1.4.1. Descuento Simple
Siendo el descuento un interés, este puede ser simple o compuesto. La persona (prestatario) puede pagar
a un prestamista el costo (precio) del préstamo al inicio del período o al final del mismo. En el primer caso
este precio recibe el nombre de descuento; en el segundo interés respectivamente.
Descuento simple, es la operación financiera que tiene por objeto la representación de un capital futuro
por otro equivalente con vencimiento presente, a través de la aplicación de la fórmula del descuento
simple. Es un procedimiento inverso al de capitalización.
1.4.2. Particularidades de la operación
Los intereses no capitalizan, es decir que:
-
Los intereses producidos no son restados del capital inicial para generar (y restar) nuevos intereses
en el futuro y,
-
Por tanto a la tasa de interés vigente en cada período, los intereses los genera el mismo capital a
la tasa vigente en cada período.
Los procedimientos de descuento tienen un punto de partida que es el valor futuro conocido (VF) cuyo
vencimiento quisiéramos adelantar. Es necesario conocer las condiciones de esta anticipación: duración
de la operación (tiempo y el capital futuro) y la tasa de interés aplicada.
El capital resultante de la operación de descuento (valor actual o presente VA) es de cuantía menor,
siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su
vencimiento. Concluyendo diremos, si trasladar un capital presente al futuro implica incrementarle
intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la disminución de esa misma
cantidad porcentual.
Nomenclatura:
D
: Descuento o rebaja.
DR
: Descuento racional
DC
: Descuento comercial
VN(VF)
: Valor final o nominal, es el conocido valor futuro
VA
: Valor actual, inicial o efectivo.
i ó d
: Tasa de interés o descuento
A partir de éste numeral, los intereses serán “d” si éstos son cobrados por adelantado e “i” si son cobrados
a su vencimiento Considerar esta observación al usar las fórmulas para calcular Tasas Equivalentes, tanto
en operaciones a interés simple como a interés compuesto.
El valor actual (VA) es inferior al valor futuro (VF) y la diferencia entre ambos es el descuento (D).
Cumpliéndose la siguiente expresión:
Como vimos, el descuento, es una disminución de intereses que experimenta un capital futuro como
consecuencia de adelantar su vencimiento, es calculado como el interés total de un intervalo de tiempo.
Cumpliéndose:
Dependiendo del capital considerado para el cálculo de los intereses, existen dos modalidades de
descuento:
- Descuento racional o matemático
- Descuento comercial o bancario.
Cualquiera sea la modalidad de descuento utilizado, el punto de partida siempre es un valor futuro VF
conocido, que debemos representar por un valor actual VA que tiene que ser calculado, para lo cual es
importante el ahorro de intereses (descuento) que la operación supone.
1.4.3. Descuento racional o matemático
La diferencia entre la cantidad a pagar y su valor actual recibe el nombre de descuento racional o
matemático, no es lo mismo que el descuento bancario. Designamos el descuento bancario simplemente
con la palabra descuento.
Calculamos el descuento racional, determinando el valor actual de la suma a la tasa indicada y restando
este VA de dicha cantidad. El resultado es el descuento racional.
El descuento racional es el interés simple. La incógnita buscada es el valor actual (capital inicial). Es decir,
el descuento racional es igual a la cantidad a pagar (VN) menos el valor actual [VA] del capital. Luego:
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