I = D, fórmulas [7] y [8]
1.4.4. Descuento comercial
En este tipo de descuento, los intereses son calculados sobre el valor nominal VN empleando un tipo de
descuento d. Por esta razón, debemos determinar primero el descuento Dc y posteriormente el valor
actual VA o capital inicial.
El capital inicial es obtenido por diferencia entre el capital final (VN) y el descuento (Dc):
Ejercicio 24 (Descuento racional y comercial)
Deseamos anticipar al día de hoy un capital de UM 5,000 con vencimiento dentro de 2 años a una tasa
anual del 15%. Determinar el valor actual y el descuento de la operación financiera
Solución:
VN = 5,000; n = 2; i = 0.15; VA =?; DR =?
Primer tema:
Asumiendo que el capital sobre el que calculamos los intereses es el capital inicial (descuento racional):
[14] DR = 5,000 - 3,846 = UM 1,153.85
Segundo tema:
Asumiendo que el capital sobre el que calculamos los intereses es el nominal (descuento comercial):
[15] DC = 5,000*2*0.15 = UM 1,500
[15A] VA = 5,000 - 1,500 = UM 3,500
o también:
[16] VA = 5,000(1 - 2*0.15) = UM 3,500
1.4.5. Tasa de interés y de descuento equivalentes
Si el tipo de interés (i) utilizado en el descuento racional coincide en número con el tipo de descuento (d)
aplicado para el descuento comercial, el resultado no es el mismo porque estamos trabajando sobre
capitales diferentes para el cálculo de intereses; razón por la cual el descuento comercial será mayor al
descuento racional (DC > DR), como apreciamos en el ejemplo 24.
Para hacer comparaciones, buscar una relación entre tipos de interés y de descuento que nos resulte
indiferentes una modalidad u otra; es necesario, encontrar una tasa de descuento equivalente a uno de
interés, para lo cual deberá cumplirse la igualdad entre ambas:
DC = DR.
Las fórmulas que nos permiten cumplir con esta condición son:
Fórmula que nos permite conocer d a partir de i.
Fórmula que nos permite conocer i a partir de d.
Estas fórmulas son de aplicación sólo con tasas periódicas; aquellas tasas utilizadas en determinado
período para calcular el interés. La relación de equivalencia entre tasas de interés y descuento, en el
interés simple, es una función temporal, esto quiere decir, que una tasa de descuento es equivalente a
tantas tasas de interés como valores tome n de la operación y a la inversa (no hay una relación de
equivalencia única entre una i y un d).
Ejercicio 25 (Calculando la tasa de descuento)
Si consideramos en el ejemplo 24, que la tasa de interés es del 15% anual.
Calcular la tasa de descuento anual que haga equivalentes ambos tipos de descuento.
Solución:
i = 0.15; d =?
1º Calculamos la tasa de descuento anual equivalente:
2º Luego calculamos el valor actual y el descuento considerando como tasa de interés el 15% (descuento
racional):
[14] DR = 5,000 - 3,846 = UM 1,153.86
3º Calculamos el valor actual y el descuento considerando la tasa de descuento encontrada del 11.54%
(descuento comercial):
[15] DC = 5,000*2*0.1154 = UM 1,153.86
[15A] VA = 5,000 - 1,154 = UM 3,846
o también:
[16] VA = 5,000(1 - 2*0.1154) = UM 3,846
1.4.6. Equivalencia financiera de capitales
Cuando disponemos de diversos capitales de importes diferentes, situados en distintos momentos puede
resultar conveniente saber cuál de ellos es más atractivo desde el punto de vista financiero. Para definir
esto, es necesario compararlos, pero no basta fijarse solamente en los montos, fundamentalmente
debemos considerar, el instante donde están ubicados los capitales.
Como vimos, para comparar dos capitales en distintos instantes, hallaremos el equivalente de los mismos
en un mismo momento y ahí efectuamos la comparación.
Equivalencia financiera es el proceso de comparar dos o más capitales situados en distintos momentos a
una tasa dada, observando si tienen el mismo valor en el momento en que son medidos. Para ello
utilizamos las fórmulas de las matemáticas financieras de capitalización o descuento.
Principio de equivalencia de capitales
Si el principio de equivalencia se cumple en un momento concreto, no tiene por qué cumplirse en
otro (siendo lo normal que no se cumpla en ningún otro momento). Afectando esta condición la
fecha en que se haga el estudio comparativo, el mismo, que condicionará el resultado.
Dos capitales, VA1 y VA2, que vencen en los momentos n1 y n2 respectivamente, son equivalentes
cuando, comparados en un mismo momento n, tienen igual valor. Este principio es de aplicación
cualquiera sea el número de capitales que intervengan en la operación. Si dos o más capitales son
equivalentes resultará indiferente cualquiera de ellos, no existiendo preferencia por ninguno en particular.
Contrariamente, si no se cumple la equivalencia habrá uno sobre el que tendremos preferencia que nos
llevará a elegirlo.
Aplicaciones del principio de equivalencia
El canje de uno o varios capitales por otro u otros de vencimiento y/o valores diferentes a los anteriores,
sólo puede llevarse a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes.
Para determinar si dos alternativas son financieramente equivalentes tendremos que valorar en un mismo
momento y precisar que posean iguales montos. Al momento de la valoración se le conoce como época o
fecha focal o simplemente como fecha de análisis. Para todo esto el acreedor y el deudor deberán estar
de acuerdo en las siguientes condiciones fundamentales:
-
Momento a partir del cual calculamos los vencimientos.
-
Momento en el cual realizamos la equivalencia, sabiendo que al cambiar este dato varía el resultado del
problema.
-
Tasa de valoración de la operación.
-
Establecer si utilizamos la capitalización o el descuento.
Ocurrencias probables:
- Cálculo del capital común.
- Cálculo del vencimiento común.
- Cálculo del vencimiento medio.
Cálculo del capital común
Es el valor C de un capital único que vence en el momento n, conocido y que sustituye a varios capitales
C1, C2, …, C
n
, con vencimientos en n1, n2, … , n
n
, respectivamente, todos ellos conocidos en cuantías y
tiempos.
Para calcularlo debemos valorarlos en un mismo momento a la tasa acordada, por una parte, los capitales
iniciales y, por otra, el capital único desconocido que los va a sustituir.
Ejercicio 26 (Cálculo del capital común - Capitalización simple)
Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de UM 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600 con vencimiento a
los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. Para pagar estas deudas propone canjear las cuatro obligaciones
en una sola armada dentro de 10 meses. Determinar el monto que tendría que abonar si la tasa de interés
simple fuera de 15% anual.
Solución:
(10 - 3 = 7), (10 - 6 = 4), (10 - 8 = 2) y (11 - 10 = 1); i = 0.15/12 = 0.0125
VA = 1,000, 3,000 y 3,800; VF = 4,600; n = 7, 4, 2, 1; i = 0.0125; VF
10
=?
Calculamos con la fecha focal en 10 meses, para ello aplicamos en forma combinada las fórmulas [5] de
capitalización y [6] de actualización:
VF
10
= 12,676
Respuesta:
El monto a pagar por las cuatro obligaciones dentro de 10 meses es UM 12,676.
Cálculo del vencimiento común
Es el instante n en que vence un capital único C conocido, que suple a varios capitales C1, C2, …, C
n
, con
vencimientos en n1, n2 … n
n
, todos ellos conocidos en valores y tiempos.
La condición a cumplir es:
Para determinar este vencimiento procedemos de la misma forma que en el caso del capital común, siendo
ahora la incógnita el momento donde se sitúa ese capital único.
Ejercicio 27 (Vencimiento común - Interés simple)
Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de UM 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600 con vencimiento a
los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. De acuerdo con el acreedor deciden hoy sustituir las cuatro
obligaciones por una sola de UM 14,000. Determinar el momento del abono con una tasa de interés simple
de 15% anual. La fecha de análisis es el momento cero.
Solución:
VF
1...4
= 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600; n
1 ... 4
= 3, 6, 8 y 11; n =?
1º Hacemos la equivalencia en el momento cero, aplicando sucesivamente la fórmula [6] de actualización:
2º Otra forma de solución es actualizar los valores futuros a la tasa y momentos conocidos, sumarlos y con
este valor actual total aplicar la fórmula (13) y obtendremos el momento buscado.
VF
T
= 14,000; i = 0.0125; VA
T
=?; n =?
Respuesta:
El momento de pago de las cuatros obligaciones en un solo monto es a 11 meses con 8 días.
Cálculo del vencimiento medio
Es el instante n en que vence un capital único C, conocido, que suple a varios capitales C1, C2, … , C
n
,
con vencimientos en n1, n2, … ,n
n
, todos ellos conocidos.
La condición a cumplir es:
El cálculo es semejante al vencimiento común, lo único que varía es el valor del capital único que suple al
conjunto de capitales iniciales, que ahora debe ser igual a la suma aritmética de los montos a los que
reemplaza.
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![[15] cD=VN*n*d[15A] CVA=VN-D[16] (1)VA=VN-nd5,000[6] = UM 3,846.15(1+2*0.15)VA[17] 1id=+ni](./background9.png)
![[18] 1di=-nd0.15[17] = 0.11541+2*0.15d=5,000[6] = UM 3,846.15(1+2*0.15)VA](./background10.png)
![101,088 + 3,150 + 3,895 + 4,543 =VF1,0003,0003,8004,60014,000[6] +++=(1+ 3×0.0125)(1+ 6×0.0125)(1+ 8×0.0125)(1+ 11×0.0125)(1+ ×0.0125)n14,00012,274 =1+ × 0.0125n14,000-112,274= 11.25 meses0.0125nT1,0003,0003,8004,600[6] +++= 12,274(1+ 3×0.0125)(1+ 6×0.0125)(1+ 8×0.0125)(1+ 11×0.0125)VA14,000112274[13] = 11.25 0.2530= 7.5 días00125,n.n12C=C+C+...+C](./background12.png)
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