[14] DR = 2,500 - 2,200 = UM 300
En ambos casos los resultados son idénticos, con lo que queda demostrada la equivalencia de la tasa con
el descuento.
Respuesta:
La tasa de interés equivalente al descuento de 12% es 13.64% trimestral, tasa que nos proporciona el
mismo descuento comercial y racional.
Ejercicio 35 (Tipo de descuento equivalente a la tasa dada)
El señor Rojas presenta en su Banco un pagaré por UM 4,000, que devenga el 5% de interés semestral
con vencimiento dentro de 6 meses. Calcular el tipo de descuento que debe cargar el Banco para que el
dinero recibido como descuento sea igual al interés sobre el pagaré y el señor Rojas reciba UM 4,000
como valor líquido. ¿Qué tipo de descuento es equivalente a la tasa de interés del 5% semestral?
Solución:
1º Calculamos el descuento equivalente a la tasa del 5% semestral:
i = 0.05; n = 1; i =?
2º Calculamos el descuento bancario:
[15] DC = 4,000*1*0.0476 = UM 190.40
Despejando VN en [15A] VN = 4,000 + 190.40 = UM 4,190.40
Luego el señor Rojas recibirá como valor líquido:
VN = 4,190.40; DC = 190.40; VA =?
[15] VA = 4,190.40 - 190.40 = UM 4,000
Respuesta:
El tipo de descuento equivalente al 5% semestral es 4.76%.
Ejercicio 36 (De aplicación)
Una Caja Rural de Ahorro y Crédito presta UM 8,000 por ocho meses al 52% anual. Determinar a qué tipo
de descuento equivale esta tasa de interés.
Solución:
1º Calculamos la tasa periódica: 0.52/12 = 0.0433 mensual
i = 0.0433; n = 8; d =?
j = 0.0322*12 = 0.3864
Respuesta:
La tasa del 52% anual equivale a la tasa de descuento del 38.64% anual.
2. Interés Compuesto
El concepto y la fórmula general del interés compuesto es una potente herramienta en el análisis y
evaluación financiera de los movimientos de dinero.
El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del
interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el
tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en
períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo
capital.
Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus
intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto.
El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La
frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital,
por acumulación.
Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto:
1º.
El capital original (P o VA)
2º.
La tasa de interés por período (i)
3º.
El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n).
Por ejemplo:
Sí invertimos una cantidad durante 5½ años al 8% convertible semestralmente, obtenemos:
El período de conversión es
: 6 meses
La frecuencia de conversión será
: 2 (un año tiene 2 semestres)
0.04
2
0.08
conversión
de
frecuencia
interés
de
tasa
Entonces el número de períodos de conversión es:
(número de años)*(frecuencia de conversión) = 5½ x 2 = 11
Fórmulas del Interés Compuesto:
La fórmula general del interés compuesto es sencilla de obtener:
VA
0
,
VA1
= VA
0
+ VA
0
i
= VA
0
(1+i),
VA2
= VA
0
(1+i) (1+i)
= VA
0
(1+i)²
VA3
= VA
0
(1+i) (1+i) (1+i)
= VA
0
(1+i)³
Generalizando para n períodos de composición, tenemos la fórmula general del interés compuesto:
Fórmula para el cálculo del monto (capital final) a interés compuesto. Para n años, transforma el valor
actual en valor futuro.
1
n-1
n
VF
VA
2 ...
El factor (1 + i)
n
es conocido como Factor de Acumulación o Factor Simple de Capitalización (FSC), al
cual nos referiremos como el factor VF/VA (encontrar VF dado VA). Cuando el factor es multiplicado por
VA, obtendremos el valor futuro VF de la inversión inicial VA después de n años, a la tasa i de interés.
Tanto la fórmula del interés simple como la del compuesto, proporcionan idéntico resultado para el valor
n = 1.
VF = VA(1+ni)
= VF = VA(1+i)
n
VA(1+1i)
= VA(1+i)¹
VA(1+i)
= VA(1+i)
Si llamamos I al interés total percibido, obtenemos:
I = VF - VA luego
I = VF - VA = VA(1+i)
n
- VA
Simplificando obtenemos la fórmula de capitalización compuesta para calcular los intereses:
Con esta fórmula obtenemos el interés (I) compuesto, cuando conocemos VA, i y n.
Ejercicio 37 (Calculando el interés y el VF compuestos)
Determinar los intereses y el capital final producido por UM 50,000 al 15% de interés durante 1 año.
Solución:
VA = 50,000; i = 0.15; n = 1; I =?; VF =?
Calculamos el interés y el VF:
7,500
UM
1
0.15)
(1
50,000
I
[20]
1
(19) VF = 50,000*(1+0.15) = UM 57,500
Para el cálculo de I podemos también aplicar la fórmula (7):
[7] I = 57,500 - 50,000 =
UM 7,500
Respuesta:
El interés compuesto es UM 7,500 y el monto acumulado
2.1. Valor actual a interés compuesto
La fórmula general del interés compuesto permite calcular el equivalente de un capital en un
momento posterior.
Dijimos en el numeral 1.1, pág. 101, de éste Capítulo, la longitud de la escalera es la misma contada de
abajo hacia arriba como de arriba abajo. En el interés compuesto cuanto más arriba miramos, más alto es
cada escalón sucesivo y si nos paramos arriba y miramos hacia abajo, esto es, hacia el valor actual, cada
sucesivo escalón es algo más bajo que el anterior.
De la ecuación [19] obtenemos la fórmula del valor actual a interés compuesto:
n
i
VF
VA
)
(1
[21]
También expresamos como:
n
i)
VF(1
VA
Conocemos a la expresión entre corchetes como el Factor Simple de Actualización (FSA) o el factor
VA/VF. Permite determinar el VA (capital inicial) de la cantidad futura VF dada, después de n períodos
de composición a la tasa de interés i.
La expresión valor futuro significa el valor de un pago futuro en fecha determinada antes del vencimiento.
Cuanto menos tiempo falta para el vencimiento, mayor es el valor actual del monto adeudado, y, en la
fecha del vencimiento, el valor actual es equivalente al monto por pagar. Para comprobar uno cualquiera
de esos valores actuales, basta hallar si a la tasa indicada, en el tiempo expuesto, el valor actual es la
cantidad adeudada.
De la ecuación [19] obtenemos también, las fórmulas [22] y [23] para determinar los valores de i (dado VA,
VF y n) y n (dado VA, VF e i).
1
i
[22]
n
VA
VF
)
(1
n
[23]
i
log
VA
VF
log
Con la fórmula [22] obtenemos la tasa del período de capitalización. Con la fórmula [23] calculamos la
duración de la operación financiera.
En este caso, no da lo mismo adecuar la tasa al tiempo o adecuar el tiempo a la tasa. Tanto el tiempo
como la tasa de interés deben adecuarse al período de capitalización. Si el tiempo está en meses, la tasa
debe ser mensual; si el tiempo está en bimestres, la tasa debe ser bimestral.
Ejercicio 38 (VA a interés compuesto)
Tenemos una obligación por UM 12,000, a ser liquidado dentro de 10 años. ¿Cuánto invertiremos hoy al
9% anual, con el objeto de poder cumplir con el pago de la deuda?
Solución:
VF = 12,000; i = 0.9; n = 10; VA =?
Sintaxis
VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)
Tasa
Nper
Pago
VF
Tipo
VA
0.09
10
-12,000
5,068.93
Respuesta:
El monto a invertir hoy es UM 5,068.93.
2.2. Valor actual de deuda que devenga interés
Como en el interés simple, en el caso de deudas que devengan interés, antes de calcular su valor actual,
debemos averiguar primero el monto nominal, esto es, la cantidad de dinero (capital más interés) de la
deuda a su vencimiento. Calculado el monto nominal es más sencillo determinar el valor actual a cualquier
tasa de interés.
Para calcular el valor actual de deudas que devengan interés compuesto calculamos primero el
monto de la deuda al vencimiento, esto es, el monto nominal; luego, procedemos a calcular el valor actual
del monto nominal aplicando el método expuesto líneas arriba.
Ejercicio 39 (VA de deuda que devenga interés compuesto)
Una empresa en proceso de liquidación, tiene en activos obligaciones a 4 años por UM 42,000, devengan
el 12% capitalizando anualmente. Calcular el valor actual al 15%, con capitalización anual.
Solución: Según la regla expuesta:
1º Calculamos el monto (VF) del activo a su vencimiento:
VA = 42,000; i = 0.12; n = 4; VF =?
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![[19] nVFVA(1i)](./background18.png)
![[20] (1)1nIVAi](./background19.png)
![1012,000[21] UM 5,068.93(10.09)VA](./background20.png)
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