Calculado el capital inicial con la fórmula anterior, por diferencia entre el capital de partida y el inicial
obtenido, determinamos el interés total de la operación (DR), o descuento propiamente dicho:
Fórmula del descuento racional a interés compuesto.
Ejercicio 47 (Ahorro por pago anticipado)
Debemos anticipar el pago de una obligación de UM 12,000 con vencimiento dentro de 18 meses. Si el
pago lo efectuamos hoy. ¿Qué valor tenemos que entregar si la operación se acuerda a una tasa de
interés del 18% anual compuesto? ¿De cuánto será el ahorro por el pago anticipado?.
Solución:
VN = 12,000; n = (18/12) = 1.5; i = 0.18; DR =?; VA =?;
Aplicando directamente la fórmula [C] obtenemos el descuento buscado:
El valor líquido a entregar es: VA = 12,000 - 2,638.22 = UM 9,361.78 o también:
DR = 12,000 - 9,361.78 = UM 2,638.22
Respuesta:
El valor a entregar es
UM 9,361.78
El ahorro por el pago anticipado es de
UM 2,638.22
2.5.3. Descuento comercial
Este caso considera al capital final de un período a otro generador de los intereses a un tipo de
descuento (d) dado, vigente en ese momento.
Aplicando la fórmula [B] calculamos el capital inicial (VA):
Por diferencias entre el capital de partida y el inicial obtenido, calculamos el interés total de la operación
(Dc):
Ejercicio 48 (Descuento comercial)
Tenemos que anticipar UM 15,000 con vencimiento dentro de 3 años. Si el pago lo hacemos el día de hoy.
¿Qué valor tenemos que entregar si la operación es pactada al 22% anual compuesto? ¿Cuanto será el
descuento por el pago anticipado?
Solución:
VN = 15,000; n = 3; VA =?; d = 0.22; DC = ?
1º Calculamos el valor actual y el descuento bancario:
[D] VA = 15,000*[1 - 0.22]³ = UM 7,118.28
DC = 15,000 - 7,118.28 = UM 7,881.72
2º En forma directa, obviando el cálculo previo del capital inicial (VA):
[E] Dc = 15,000 * [1 – (1 – 0.22)³] = UM 7,881.72
Respuesta:
El monto a entregar es UM 7,118.28 y el descuento es UM 7,882.72.
2.5.4. Tasa de interés y de descuento equivalentes
Al comparar el interés simple con el interés compuesto a un mismo capital inicial y tasa de interés,
encontramos que los resultados son menores, iguales o mayores con el interés compuesto cuando los
períodos son inferiores, iguales o superiores a la unidad de referencia.
Es necesario determinar la relación que existe entre las tasas de interés y descuento con el objeto de que
los resultados de anticipos sean los mismos con cualquiera de los modelos de descuento utilizados. Esto
es, la equivalencia entre tasas de descuento e interés. Para esto debe cumplirse la igualdad entre ambos
descuentos DR = DC. En forma simplificada las formulas que cumplen con esta condición son:
La tasa de descuento comercial d equivalente a la tasa de interés i es:
Similarmente, obtenemos un tipo de interés i equivalente a un d:
Reiteramos, la relación de equivalencia es independiente de la duración de la negociación. Por ende
tenemos que para una tasa de interés habrá un único tipo de descuento que origine la equivalencia y
viceversa.
Estas fórmulas son de aplicación sólo con tasas periódicas; aquellas tasas utilizadas en determinado
período para calcular el interés.
Ejercicio 49 (Monto a adelantar)
Tenemos que anticipar el pago de una deuda de UM 18,000 al 15% anual, con vencimiento dentro de 2
años. Asumiendo que el pago lo hacemos hoy, calcular el monto que tenemos que adelantar.
Solución:
VN(VF) = 18,000; n = 2; i = 0.15; d = ?
1º Calculamos el descuento racional, con una tasa de interés de 15%:
Sintaxis
VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)
Tasa
Nper
Pago
VF
Tipo
VA
0.15
2
-18,000.00
13,610.59
2º Calculamos el descuento comercial con un descuento de 15%:
Cuando operamos con una misma tasa de interés y descuento los resultados son diferentes, el resultado
es mayor con el descuento racional por cuanto el capital productor de intereses es el capital inicial (más
pequeño) consecuentemente menor el ahorro por la anticipación.
Para obtener el mismo resultado debemos determinar el tipo de descuento equivalente al 15% de interés
con la fórmula de equivalencia:
2º Calculando el descuento comercial al nuevo tipo de descuento, obtenemos:
Respuesta:
El monto a adelantar es UM 13,610.59
2.6. Equivalencia de capitales a interés compuesto
Para demostrar que dos o más capitales son equivalentes, es necesario que éstos tengan el mismo valor
en el momento en que son comparados: principio de equivalencia de capitales.
El principio de equivalencia financiera, permite determinar si dos o más capitales situados en distintos
momentos resultan indiferentes o, por el contrario, hay preferencia por uno de ellos.
En las operaciones de interés simple, vimos la definición y utilidad de la equivalencia de capitales. El
principio de equivalencia de capitales y sus aplicaciones siguen siendo válidos. La diferencia fundamental
viene dada porque en interés compuesto la fecha donde realizamos la equivalencia no afecta al resultado
final de la operación. La equivalencia sólo se cumple en un momento dado y como consecuencia en
cualquier punto; fuera de esta condición no se cumple nunca.
2.6.1. Usos del principio de equivalencia
El reemplazo de unos capitales por otro u otros de vencimientos o montos diferentes sólo es posible si
financieramente resultan ambas alternativas equivalentes.
CASOS POSIBLES:
Cálculo del capital común
Es el monto C de un capital único que vence en n, conocido y que reemplaza a otros capitales C1, C2, ... ,
C
n
, con vencimientos en n1, n2, ... ,n
n
, todos ellos conocidos.
Cálculo del vencimiento común
Es el instante de tiempo n en que vence un capital único VA, conocido, que reemplaza a otros capitales
C1, C2, ..., C
n
, con vencimientos en n1, n2, ... ,n
n
, todos ellos conocidos.
La condición a cumplir es:
Cálculo del vencimiento medio
Es el instante de tiempo n en que vence un capital único C, conocido, que reemplaza a varios capitales C1,
C2, ... , C
n
, con vencimientos en t1, t2, ... ,t
n
, todos ellos conocidos.
La condición a cumplir es:
Ejercicio 50 (Equivalencia financiera - Capital común)
Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de UM 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600 con vencimiento a
los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. Para pagar estas deudas propone canjear las cuatro obligaciones
en una sola armada dentro de 10 meses. Determinar el monto que tendría que abonar si la tasa de interés
fuera de 15% anual.
Solución: [i = (0.15/12) = 0.0125]
VF = 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600; i = 0.0125; n = 3, 6, 11 y 10; VA
0
=?
1º Calculamos el VA con la fecha focal en 0, para ello aplicamos sucesivamente la fórmula [21]:
Sintaxis
VA
(
tasa
;
nper
;
pago
;vf;tipo)
Tasa
Nper
Pago
VF
Tipo
VA
0.0125
3
-1,000.00
963.42
0.0125
6
-3,000.00
2,784.52
0.0125
8
-3,800.00
3,440.51
0.0125
-11
-4,600.00
5,273.55
12,462.01
TOTAL VALORES ACTUALES
2º Finalmente, calculamos el VF
10
, monto a pagar en una sola armada:
[19] VF
10
= 12,462.01(1 + 0.0125)
10
= UM 38,705.11
Sintaxis
VF(tasa;nper;pago;va;tipo)
Tasa
Nper
Pago
VA
Tipo
VF
0.12
10
-12,462
38,705.11
Ejercicio 51 (Equivalencia financiera - Vencimiento común y medio)
Un empresario tiene que cobrar UM 10,000 y UM 15,000, con vencimientos a 3 y 6 meses,
respectivamente. El deudor plantea al empresario pagar ambas deudas en un sólo abono, con el 3.5% de
interés mensual. Determinar el momento del pago único considerando lo siguiente:
1. Que el monto a recibir es de UM 23,000.
2. Que el monto a recibir es
UM 25,000.
Solución:
VF
1 y 2
= 23,000 y 25,000; n = 3 y 6; i = 0.035; n =?
1º Calculamos el VA total:
Sintaxis
VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)
Tasa
Nper
Pago
VF
Tipo
VA
0.035
3
-10,000.00
9,019.43
0.035
6
-15,000.00
12,202.51
21,221.94
TOTAL VALOR ACTUAL
2º Calculamos el vencimiento común:
Portal para Investigadores y Profesionales
![n1[C] 1-(1+)RDVNi1.51[C] 12,000*1- UM 2,638.22(1+0.18)RD1.512,000[21] UM 9,361.78(1+0.18)VAn[D] (1-)VA=VNdn[1-(1-][E] C=VNd)D](./background25.png)
![[F] 1id=+i[G] 1di=-d2[D] 18,000*(1-0.15)= UM 13,005VA=218,000[21] = UM 13,610.59(1+0.15)VA](./background26.png)
![0.15[F] = 0.13043471+0.15d=2[D] 18,000*(1-0.1304347)= UM 13,610.59VA=](./background27.png)
![0368111,0003,0003,8004,600[21] =+++= 12,462.011+0.01251+0.01251+0.01251+0.0125VA03610,00015,000[21] =+= UM 21,221.941.0351.035VA](./background28.png)
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