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Torsión - Diseño a Torsión



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DISEÑO A TORSIÓN
En muchos casos es común encontrar estructuras monolíticas sometidas a la acción conjunta de
momentos flectores, fuerzas cortantes y momentos de torsión alrededor del eje longitudinal de un
elemento. Un elemento sometido a torsión causa esfuerzos cortantes en el plano perpendicular  y en
la dirección radial del elemento, desde el núcleo hasta la superficie externa. En una sección
rectangular, los esfuerzos cortantes varían desde cero en el centro hasta un valor máximo en los
centros de los bordes extremos de los lados más largos, según se muestra en la Figura 4.1
T
max
max
Figura 4.1. Distribución de esfuerzos en una sección rectangular.
Cuando la viga es sometida a torsión y flexión combinadas, los dos esfuerzos cortantes se
adicionan por un lado y tienen diferentes direcciones en el lado opuesto. El resultado son grietas
inclinadas en las caras donde los esfuerzos se adicionan, las cuales continúan en la cara o región
donde hay flexión en la viga, y si el momento es grande, casi verticalmente en el lado opuesto
(Figura 2). Si la tensión ocurre en la cara superior y hay compresión en la cara inferior, dicha
compresión previene al elemento de desarrollar grietas en la cara inferior. 
v
V
v
T
T
Figura 4.2. Torsión y flexión combinadas.
Para los diferentes tipos de estructuras sometidas a torsión estas se pueden clasificar en dos
categorías básicas: estructuras sometidas a torsión primaria, algunas veces denominada torsión de
equilibrio o
torsión estáticamente determinada  y estructuras que generan torsión secundaria,
también llamada torsión de compatibilidad
o torsión estáticamente indeterminada. Ejemplos de
estos tipos de torsión están graficados en la Figura 4.3.
  
A continuación definimos cada uno de los dos tipos de torsión básica:
1. Torsión Primaria. Cuando el momento es transmitido a los soportes a través de la longitud de la
viga. La carga externa siempre va a causar torsión y el elemento de soporte no tiene otra
alternativa que resistir dicha torsión. El momento torsional es requerido en los extremos para el
equilibrio de la estructura y la carga externa. Un tipo de esta estructura esta mostrada en la Figura
4.3a. Las cargas aplicadas en la losa generan un momento torsor  a lo largo de la viga de borde la
cual debe resistir y transmitir el momento a las columnas extremas si el sistema debe permanecer
en equilibrio. Las columnas resisten el momento de torsión resultante en los extremos  en forma
de momento de flexión
 
2. Torsión Secundaria. También llamada torsión por compatibilidad, y es generada a partir de la de
la redistribución de fuerzas internas en las vigas de borde, encargadas de resistir la torsión
(Figuras 4.3b y 4.3c). La compatibilidad de deformaciones entre  las viguetas o losetas que
llegan a la viga de borde  y esta misma, cuando son construidas monolíticamente, produce un
giro que probablemente desarrollará agrietamiento en la unión de ambos elementos pero no hará
colapsar la estructura. Existe la posibilidad de una redistribución o reducción del momento
torsor aplicado en el borde de la viga externa, pero este no puede determinarse únicamente con
base en el equilibrio estático. Si la viga de borde es suficientemente rígida y las columnas puede
resistir el momento torsor aplicado, entonces los momentos en las viguetas o losa serán los de
un apoyo exterior rígido. Si la viga no tiene suficiente rigidez torsional, esta se deforma y la
losa gira, se produce agrietamiento y se reduce la capacidad de resistir momentos en la loseta o
viguetas que descansan en la viga de borde.
t
U
t
U
(a) Torsion Primaria
(b) Torsion Secundaria
(c) Torsion Secundaria
      Losa Maciza y Vigas
Figura 4.3. Torsión y flexión combinadas.
  
4.1
ANALOGÍA DEL TUBO DE PARED DELGADA
La relación entre el momento T y los esfuerzos
puede se derivada a partir de la Figura 4.4 
tomando equilibrio de momentos alrededor del eje z. La fuerza cortante torsional que actúa en una
pared de largo ds de un elemento hueco viene dada por q*ds. El momento de esta fuerza alrededor
del eje es r*q*ds, donde r
es La distancia perpendicular al eje centroidal del
tubo. Integrando
alrededor del perímetro da un momento torsor:
ò
=
per
ds
*
q
*
r
T
De la misma figura se puede observar que el valor
ò
per
ds
*
r
es igual a dos veces el área
encerrada por la línea central del espesor de la pared de longitud ds y el radio r, o área A de la
sección alrededor de toda el área transversal, encerrada por el recorrido de los esfuerzos de cortante
de tal manera que:
A
*
2
ds
*
r
per
=
ò
Por tanto, el momento torsor  y los esfuerzos cortantes resistidos por la sección son,
respectivamente:
t
*
A
*
2
T
y
A
*
q
*
2
T
=
=
t
donde t es el espesor de la pared. Es de anotar que la resultante del flujo de cortante q integrado
alrededor de toda la sección perpendicular al eje z debe ser igual a cero, por lo que este análisis solo
aplica si a tubos continuos o secciones sólidas donde el elemento puede ser aproximado a un tubo
con paredes continuas. Los esfuerzos máximos de cortante por torsión ocurren donde el espesor es
mínimo.
t2
t
T
r
q*d
s
a
d
b
c
d
z
a
d
b
c
t1
d
s
d
z
Figura 4.4. Esfuerzos cortantes en una sección hueca.
  
Para secciones rectangulares, por estudios preliminares se ha encontrado que el espesor t de la
pared es igual a 0.75*(A
cp
/P
cp
)
donde P
cp
es el perímetro de la sección de concreto y A
cp
es el área
encerrada por este perímetro. 
X
O
/ 2
X
O
/ 2
X
O
Y
O
/ 2
Y
O
/ 2
Y
O
t
t
T
A
O
Figura 4.5. Analogía tubo de pared delgada en sección rectangular.
El área A que representa el área encerrada por la línea central de la  trayectoria del flujo de corte
es definida como A
o
= X
o
* Y
o
y su valor aproximado es 2*A
cp
/ 3 (ver Figura 4.5). Utilizando los
valores de t  y  A  especificados el esfuerzo cortante se reduce a:
2
cp
cp
A
P
*
T
=
t
Para torsión pura el esfuerzo principal de tensión corresponde al valor de
. Si consideramos
solo el concreto resistiendo tales esfuerzos, el agrietamiento empieza cuando
= 0.5* fr. El valor de
fr corresponde al modulo de rotura del concreto el cual se toma como:
MPa
en
fc
*
3
2
fr
'
®
»
Sustituyendo en
, el valor  del momento torsional critico ocurre cuando el esfuerzo principal a
tensión del concreto en el estado biaxial de tensión-compresión alcanza un valor resistente a la
tensión de:
cp
2
cp
'
c
cr
P
A
*
f
*
3
1
T
=
En diseño combinado de torsión y cortante siguen el diagrama de interacción circular dado en
la Figura 4.6. El código ACI sugiere que la torsión sea considerada en el diseño si Tu
excede
0.25*T
cr
, por tanto, en elementos sólidos no preesforzados se debe cumplir que:
'
c
max
,
u
u
cp
2
cp
'
c
max
,
u
u
f
*
6
5
*
V
V
y
P
A
*
12
f
*
T
T
f
f
=
£
=
£
  
Los resultados de vigas sin estribos, cargadas con varios radios de torsión y cortante están
graficados a continuación. T
n
  y  V
n
representan las resistencias nominales a torsión y cortante para
resistir T
u
  y  V
u
  cuando actúan simultaneamente.
max
,
c
c
T
T
0
.
1
Tc
Tc
Vc
Vc
2
max
,
2
max
,
max
,
n
n
V
V
o
max
,
n
n
T
T
o
1.0
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.8
0.6
0.4
0
.
1
T
T
V
V
2
max
,
n
n
2
max
,
n
n
max
,
c
c
V
V
Figura 4.6. Interacción entre cortante y torsión.
Donde, V
n, max
= V
c, max
+ V
s, max
  y T
n, max
= T
c, max
+ T
s, max
  representan la resistencia nominal al
cortante del alma reforzada cuando actúa únicamente cortante en la sección. En elementos sólidos
no preesforzados sometidos a una fuerza  axial de tracción, la expresión de torsión se modifica por:
'
c
g
u
cp
2
cp
'
c
u
f
*
A
N
*
3
1
*
P
A
*
12
f
*
T
+
£
f
donde Nu
se toma como negativo cuando la fuerza axial está en tracción. En estas dos últimas
ecuaciones Tu está expresada en unidades consistentes para el sistema SI internacional, y el lado
derecho de las ecuaciones debe multiplicarse por 0.3(A
g
/A
cp
) para secciones huecas. Si la torsión
mayorada de un elemento T
u
excede el valor dado en estas dos últimas ecuaciones, el elemento debe
diseñar a torsión. En una estructura donde pueda ocurrir un reducción de torsión última debido a la
redistribución interna de fuerzas, se permite reducir la consideración del estudio del elemento a
torsión si:
cp
2
cp
'
c
u
P
A
*
3
f
*
T
f
£
para elementos no preesforzados con sección hueca T
u
debe multiplicarse por (A
g
/A
cp
)
resultando la
ecuación:
cp
g
cp
'
c
cp
g
cp
2
cp
'
c
u
P
A
*
A
*
3
f
*
A
A
*
P
A
*
3
f
*
T
f
f
=
£
donde A
g
es el área bruta de la sección en mm².
  
4.2
ELEMENTOS  DE CONCRETO REFORZADO
De acuerdo a las Figuras 4.7  y  4.8 una viga rectangular con estribos puede ser modelada
después del agrietamiento tomando la sección tubular  idealizada como una cercha hueca espacial
consistente de estribos cerrados  y barras longitudinales en las esquinas, con diagonales a
compresión conformadas por el material del concreto y aproximadamente
centradas entre los
estribos. Las diagonales están delimitadas por fisuras contiguas las cuales, por lo general,
conforman un ángulo
definido con un valor de 45
0
para el concreto reforzado.
El momento torsor resistente para un elemento reforzado es apenas un poco mayor que el de la
sección sin refuerzo. Pero cuando una sección es cargada hasta el límite de agrietamiento, la
resistencia a torsión del concreto se reduce casi a la mitad y el resto de la resistencia es  tomada por
el acero transversal y longitudinal. La contribución del acero longitudinal logra aumentar la
resistencia a torsión en un 15%, aunque la contribución de este no es tomada en cuenta en la
derivación de las formulas para hallar el acero transversal A
t
por lo que la separación de estribos
debido a torsión es algo conservadora. 
Tomando como referencia la Figura 4.7, el flujo de torsión por unidad de longitud en el
perímetro del tubo o la cercha espacial es:
A
*
2
T
q
=
donde A fue definida anteriormente como la sección alrededor de toda el área transversal, encerrada
por el recorrido de los esfuerzos de cortante o lo que es lo mismo, la trayectoria del flujo de corte.
Tal trayectoria se presenta a lo largo de la sección  Tal área está definida en función de las
dimensiones  definida como X
o
y 
Y
o
(ver Figura 4.5) por lo que la anterior ecuación se convierte
en:
o
o
o
Y
*
X
*
2
T
A
*
2
T
q
=
=
La resistencia a torsión (según la Figura 4.7) se representa como la suma de las fuerzas
cortantes V1
a V
4
correspondientes a las fuerzas en las respectivas paredes del tubo delgado
equivalente, o lo que es lo mismo, las fuerzas longitudinales por las cuatro ramas del estribo cerrado
en similitud con el modelo  de la cercha espacial equivalente. Tales fuerzas cortantes están definidas
como:
0
0
4
2
0
0
3
1
Y
*
A
*
2
T
V
V
y
X
*
A
*
2
T
V
V
=
=
=
=
Tomando momentos alrededor del eje de la sección encontramos que el momento interno de
torsión es:
o
0
0
0
0
0
0
A
*
q
*
2
T
Y
*
X
*
q
*
2
2
X
*
)
Y
*
q
(
*
2
2
Y
*
)
X
*
q
(
*
2
T
=
\
=
+
=
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