Capítulo 4
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
4.1 OBJETIVO
Presentar
uno de
los
métodos
más efectivos para resolver sistemas de
ecuaciones integro-diferenciales simultáneas
de coeficientes constantes que
describen completamente el comportamiento de circuitos lineales e invariantes
con el tiempo. El método posee las siguientes ventajas:
Reduce el problema a la solución de ecuaciones algebraicas lineales.
Se aplica tanto a circuitos propios como impropios.
Introduce el estado energético inicial en t = 0
-
desde el principio y, por
tanto:
No require la determinación del estado energético inicial
en t = 0
+
para circuitos impropios.
No es necesario evaluar el valor de
la respuesta y de sus
derivadas
temporales de orden superior en
t
= 0
+
ni con-
stantes arbitrarias.
Permite encontrar en una sola operación la solución total
(es decir, la particular y la función complementaria).
4.2
DEFINICION
La transformación de Laplace asocia a una función real del tiempo f(t) definida
en el intervalo [0, ∞] otra función F(s) de acuerdo a la ecuación
(4-1)
donde la variable s en (4-1) se denomina la frecuencia compleja.
(4-1) es válida únicamente para valores de s (puntos del plano complejo) para
los que la integral sea finita, cuyo lugar geométrico se conoce con el
nombre
de REGION DE CONVERGENCIA.
Reemplazando (4-1b) en (4-1a) se obtiene:
(4-2)
La integral (4-2) puede considerarse como el límite de una suma de números
complejos (vectores con diferentes orientaciones). La magnitud de la resultante
es
menor
o
igual
a
la
suma
de
las
magnitudes
de
cada
uno
de
los
vectores
componentes de la suma
ya que esto es equivalente a sumar vectores con la
misma orientación y sobre el mismo eje. Se puede expresar este hecho
matemáticamente de la siguiente manera:
(4-3)
donde en la segunda integral
*e
-jwt
*
= 1.0 garantiza que la suma se está
efectuando sobre el mismo eje y
*f(t)* que todos los vectores tienen el mismo
sentido.
Es evidente entonces que para que *F(s)* sea finito f(t) debe satisfacer dos
condiciones suficientes (pero no necesarias).
1.
Que cada uno de los "vectores" componentes en la segunda integral en
(4-3) sean finitos (función acotada), es decir, deben existir dos números
M
y
O
o
tales que
(4-4)
2
Que la sumatoria sea finita, es decir,
(4-5)
Nótese que (4-5) se cumple siempre y cuando F = Re(s) >
O
o
.
Por esta razón
O
o
se conoce con el nombre de abcisa de convergencia de F(s).
Debido a que la mayoría de las
funciones que se consideran en el análisis
y
diseño de redes eléctricas
satisfacen (4-4)
y
(4-5) se supone en
lo sucesivo
que ellas son transformables.
Aunque pueda parecer a primera vista que la integral (4-1) es difícil de evaluar,
realmente no lo es. Además, para la mayoría de funciones de interés se
conocen sus transformadas de Laplace, las cuales se encuentran tabuladas y
no es
necesario
evaluarlas cada
vez que se presenten, por
lo que
(4-1) se
utiliza muy poco en la práctica.
4.3 PROPIEDADES BASICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Si f(t) =
0
t
<
0
y
es transformable, es decir, satisface (4-4) y (4-5) se pueden
obtener algunos resultados
útiles que se derivan de
la definición (4-1)
integrando por partes cuando sea necesario.
LINEALIDAD
Si a y ß son constantes escalares:
(4-6)
TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA
Nótese que (4-7) es válida únicamente si
(4-7)
(4-8)
lo cual es consecuencia de la regla de L'Hospital siempre y cuando f(t) y sus
derivadas sucesivas sean finitas en t = 8 y Re(s) > 0.
-
-
114
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Generalizando
donde f
(k)
(0 ) denota la k-ésima derivada de f(t) evaluada en t = 0
(4-9)
TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL
MULTIPLICACIÓN POR TIEMPO
Generalizando:
(4-10)
(4-11)
CAMBIO DE ESCALA
Si " es una constante real positiva
(4-12)
TRASLACIÓN COMPLEJA
Si " es una constante
TRASLACION REAL
(4-13)
(4-15)
donde la función escalón unitario u(t) se define así:
(4-14)
TEOREMA DEL VALOR INICIAL
siempre y cuando existan ambos miembros de (4-16)
TEOREMA DEL VALOR FINAL
(4-16)
Si s.F(s) no tiene polos en el eje imaginario ni en el semiplano complejo de la
derecha:
(4-17)
TRANSFORMADA DE UNA FUNCION PERIODICA
Sea f(t) una función periódica definida por la ecuación
(4-18)
Si se define
(4-19)
(4-18) se puede expresar también de la siguiente manera:
FIGURA 4.1 Representación gráfica de (4-20)
(4-20)
La figura 4.1 es una representación gráfica de la ecuación (4-20).
De (4-1), (4-6), (4-15) y (4-20) se sigue que:
Es decir,
(4-21)
4.5
APLICACION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LA SOLU-
CION
DE
UN
CONJUNTO
LINEALMENTE
INDEPENDIENTE DE
ECUACIONES
INTEGRODIFERENCIALES
DE
COEFICIENTES
CONSTANTES
La utilidad de la Transformación de Laplace consiste en que cuando es
aplicada a las ecuaciones generales que describen completamente un circuito
lineal e invariante con el tiempo, éstas se convierten en un conjunto de
ecuaciones en s que se puede resolver algebraicamente para determinar las
transformadas de las respuestas deseadas.
EJEMPLO 4.1
Hallar I1(s) e I2(s) para el circuito mostrado en la figura 4.2, cuyo estado
energético inicial en t = 0
-
es:
Describiendo el circuito en función de las corrientes de enlace i1 e i2, se obtiene
FIGURA 4.2 Circuito del ejemplo 4.1
(4-22)
Aplicando (4-7) y (4-10) a (4-22) y agrupando términos semejantes se tiene:
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