(4-23)
Resolviendo algebraicamente (4-23) se pueden obtener I1(s) e I2(s).
4.6
IMPEDANCIA Y ADMITANCIA DE LAPLACE
Se define
la
impedancia de Laplace
Z(s) de
una puerta
compuesta
de
una
interconección
de
elementos
lineales,
bilaterales
y
pasivos
como
la
relación
entre la transformada de Laplace del voltaje V(s) y la de la corriente I(s) cuando
su estado energético inicial es nulo. La definición supone que los sentidos
de referencia son tales que el de
la corriente es en el
sentido
de la caída de
potencial a través de la puerta.
Similarmente se define la admitancia de
Laplace Y(s) como el recíproco de la impedancia. Matemáticamente
(4-24)
Aplicando la definición (4-1) y las propiedades (4-7) y (4-10) a las ecuaciones
(1-18), (1-19),(1-20), (2-3), (2-4) y (2-5), se obtiene:
(4-25)
Es decir,
haciendo en (4-25)
nulo el estado energético inicial
y
aplicando
la
definición (4-24) se obtiene
(4-26)
Fácilmente se puede demostrar que varias impedancias conectadas en serie
se pueden reemplazar por otra equivalente igual a la suma de ellas. Similar-
mente varias admitancias conectadas
en paralelo se pueden reemplazar por
otra equivalente igual a la suma de ellas. Las transformaciones estrella-
triángulo y viceversa deducidas para resistencias (ver Ejercicio 2.15) son
válidas si éstas se reemplazan por impedancias.
La figura 4.3 es la representación gráfica de (4-25).
FIGURA 4.3 Representación de (4-25) y su equivalente
Una importantísima consecuencia de la definición (4-24) es que para obtener
un
conjunto
de
ecuaciones
algebraicas
en
s
que
describa
completamente
el
comportamiento
de
cualquier
circuito
lineal
e
invariante
con
el
tiempo
no
es
necesario plantear previamente las correspondientes ecuaciones integro-
diferenciales,
ya que (4-25)
y
la figura 4.3 sugieren que se puede obtener
un
circuito transformado reemplazando:
1
Las fuentes independientes por sus
respectivas transformadas de
Laplace.
2
Cada inductor que
no esté
mutuamente acoplado¹
por
una puerta
con
impedancia de Laplace Ls en serie con
una fuente de
voltaje de
valor
L*i
L
(0
-
)
y
de polaridad tal que I
L
(s) fluye a través de ella en el sentido de
1
El caso de inductores mutuamente acoplados se
discutirá más adelante.
la subida de potencial o en paralelo
con
una
fuente de corriente de
valor i
L
(0
-
)/s di®igida hacia el terminal negativo de V
L
(s).
3
Cada
capacitor
por
una puerta de
impedancia
de
Laplace
(1/Cs)
en
paralelo con
una fuente de corriente de
valor C*vC(0
-
)
dirigida
hacia el
terminal positivo de VC(s) o en serie con una fuente de voltaje de valor
v
C
(0
-
)/s de polaridad tal que I
C
(s) fluye a través de ella en el sentido de
la caída de potencial.
Los resultados anteriores son casos particulares de los más generales de
equivalencia de fuentes (ver sección 2.10) en el dominio de la transformada de
Laplace:
i
Una fuente independiente de voltaje V(s) en serie con una puerta
de impedancia de Laplace Z(s) que no esté mutuamente acoplada
se puede reemplazar por
una fuente independiente de corriente
de
valor
V(s)/Z(s)
en
paralelo
con
la misma
puerta
sin
que
se
afecten
ni
los
voltajes
ni
las
corrientes
a
través
de
los
demás
elementos de la red.
ii
Una
fuente independiente de corriente
I(s)
en paralelo con
una
puerta de impedancia de Laplace Z(s) que
no esté mutuamente
acoplada se puede reemplazar por una fuente independiente de
voltaje de valor Z(s)I(s) en serie con
la misma puerta sin que se
afecten
ni
los
voltajes
ni
las
corrientes
a
través
de
los
demás
elementos de la red.
Una vez obtenido el circuito transformado se pueden aplicar las Leyes de
Kirchhoff usando cualquiera de los métodos discutidos en el capítulo 2.
Se puede verificar que las ecuaciones (4-23) también se obtienen directamente
transformando el circuito de la Figura 4.2 como muestra la Figura 4.4.
Escogiendo como enlaces las inductancias y la fuente independiente de
corriente
y describiendo el circuito en función de corrientes de enlace se
obtiene (4-27).
FIGURA 4.4
Circuito transformado del ejemplo 4.1
(4-27)
Agrupando términos en (4-27) se obtiene (4-23).
4.7
CIRCUITOS CON ELEMENTOS INDUCTIVOS MUTUAMENTE ACO-
PLADOS
Transformando las ecuaciones que relacionan los voltajes y las corrientes
totales a través de varios elementos acoplados inductivamente, independiente-
mente de su localización en el circuito (ver ecuación (1-24)), se obtiene:
(4-28)
o
en forma matricial (ver ecuación (1-25)):
(4-29)
Recuérdese que [M] es simétrica si se definen las corrientes totales en el
sentido de las caídas de potencial.
Las ecuaciones (4-28) y (4-29) sugieren que se puede reemplazar un conjunto
de elementos
mutuamente acoplados cuyo estado energético inicial es
diferente de cero por otro que se supone sin energía almacenada en el instante
de referencia, en el que cada elemento, el k-ésimo por ejemplo, se representa
por su impedancia propia L
k
s
=
M
kk
s
con sus respectivas marcas e impedancias
mutuas M
kj
s, en serie con una fuente de voltaje, de polaridad tal que I
k
(s) fluye
a
través de ella en el sentido de la subida de potencial, de valor
(4-30)
Nótese que debido a los acoplamientos mutuos no se puede realizar la transfor-
mación de fuentes para obtener un circuito equivalente con fuente de corriente.
EJEMPLO 4.2
Determinar
la transformada de Laplace de
los
voltajes a través de
los
inductores del circuito mostrado en la Figura 4.5, suponiendo el siguiente
estado energético inicial:
FIGURA 4.5
Circuito del ejemplo 4.2
FIGURA 4.6
Circuito transformado
del circuito
de la fi-
gura 4.5.
La
Figura
4.6
ilustra
el
circuito
transformado,
el
cual
se
puede
describir
en
función de las corrientes a través de las inductancias (escogidas como enlaces)
y reemplazar éstas en (4-29).
4.8
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA O FUNCIÓN DE CIRCUITO
La respuesta de cualquier red lineal invariante es la suma de la que se obtiene
suponiendo nulo su estado energético inicial r
zs
(t) y la debida a éste haciendo
las fuentes independientes iguales a cero r
zi
(t).
Se considera por simplicidad el caso de un circuito excitado por una sola fuente
independiente
E1(s)
que
puede
ser
de
corriente
o
de
voltaje.
En
este
caso
siempre es posible reescribir el conjunto de ecuaciones que describe completa-
mente el comportamiento de un circuito en función de corrientes de malla o de
1214 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
enlace o de voltajes de nodo o de rama de tal manera que la transformada de
la excitación aparezca únicamente en la primera ecuación². Es decir,
Aplicando la regla de Crammer se obtiene
(4-31)
(4-32)
Se define la función
de
circuito H(s) como
aquella que multiplicada por
la
transformada de Laplace de la excitación es igual a ‹{®
zs
(t)}, es deci®,
(4-33)
Cuando la red es lineal invariante y de parámetros concentrados H(s) es una
función racional (relación entre dos polinomiales) de coeficientes reales. Nótese
que H(s) se define para una sola excitación y una sola respuesta.
2
La
solución
de
un
conjunto
linealmente
independiente
de
ecuaciones
no
se
altera
cuando una cualquiera de ellas se reemplaza
por una combinación lineal de ecuaciones que
incluya la que se sustituye.
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