4.9
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Una vez obtenida la transformada de Laplace de la respuesta R(s) se puede
obtener la respectiva función del tiempo de la siguiente ecuación:
(4-34)
que se conoce con el nombre de integral de inversión y se realiza en el plano
complejo a lo largo de una línea vertical paralela al eje imaginario cuya abcisa
(F
1
)
debe ser mayor que la de convergencia F
o
(Trayectoria de Bromwich).
4.9.1
EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES
R(s) es casi siempre es una función racional, es decir, un cociente entre dos
polinomios, y se puede expresar como una suma de términos más simples en
s, cuyas integrales de inversión (anti-transformadas) se encuentran tabuladas,
razón por la cual (4-34) es muy poco usada en la práctica. Sea
R(s) se puede expresar también en forma factorizada así:
(4-35)
(4-36)
donde P1, P2, ..., P
n
se definen como los polos de la función racional R(s).
Se supone en lo sucesivo que la fracción (4-36) es propia, es decir, m < n, que
es, además lo que ocurre con más
frecuencia. Cuando este
no es el caso se
debe
realizar
el
cociente
que
es
un
polinomio
cuya
transformada
inversa
se
encuentra tabulada.
Se pueden considerar dos casos, a saber:
a.
Polos distintos
(4-37)
donde K1, K2, ..., K
n
son constantes llamadas los residuos de ®(s).
Multiplicando (4-37) por (s - P
j
)
y tomando límite cuando s 6 P
j
(4-38)
Nótese que aunque pareciera a primera vista que K
j
=
0, debe recordarse que
R(s) contiene el factor (s-P
j
)
en el denominador el cual se cancela con el del
numerador. Vale la pena destacarse que (4-38) es válida aún en el caso en que
P
j
sea complejo. Recuérdese que, como D(s) tiene coeficientes reales, las
raíces complejas ocurren por pares conjugados.
Sea P
1
=
a
+
jb, P
2
=
a
-
jb. Se puede verifica® po® sustitución directa en (4-38)
que en este caso
donde (.)
*
representa el conjugado de (.).
Se puede demostrar mediante la aplicación de la regla de L'Hospital, que
La transformada inversa de Laplace de (4-37) toma la forma:
(4-39)
(4-40)
donde los K
j
se obtienen de (4-38) o (4-39).
k
b.
Polos repetidos de multiplicidad k
(4-41)
Multiplicando (4-41) por (s - P
j
)
se obtiene
(4-42)
Nótese que T(P
j
) = K
jk
.
Similarmente
Derivando sucesivamente (4-42)
y
evaluando en s = P
j
se pueden determinar
todas las constantes de (4-41). Fácilmente se puede demostrar por inducción
que
(4-43)
La transformada inversa de Laplace de (4-43) toma entonces la forma
(4-44)
EJEMPLO 4.3
Expandir en fracciones parciales
Factorizando (4-45) y simplificando se obtiene
Aplicando (4-38) y (4-43) a (4-46) se obtiene
EJEMPLO 4.4
(4-45)
(4-46)
Para el circuito ilustrado en
la Figura 4.7 determine i(t)
para
la excitación
y
estado energético inicial siguientes
(4-47)
FIGURA 4.7
Circuito del ejemplo 4.4 y su correspondiente circuito
transformado.
El conjunto de ecuaciones linealmente independientes que describe completa-
mente el comportamiento del circuito es
(4-48)
Nótese que el primer
término del segundo
miembro en (4-48) depende de
la
fuente independiente y que el segundo del estado energético inicial. Suponien-
do que éste es nulo, reemplazando la expresión para la transformada de
Laplace de v(t) y factorizando se obtiene:
(4-49)
Aplicando (4-38) a (4-49) se obtiene:
Reemplazando (4-50) en (4-49) y aplicando (4-40) se obtiene:
(4-50)
(4-51)
Nótese que i
zs
(t) tiene
una componente transitoria además de
la de régimen
permanente o del estado estacionario.
Similarmente si se hace nula la fuente V(s)
(4-52)
Aplicando (4-38) a (4-52) se obtiene
reemplazando (4-53) en (4-52) y aplicando (4-40) se obtiene
La respuesta total se obtiene sumando (4-51) y (4-54).
(4-53)
(4-54)
Apuntes enviados por:
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