La ecuación 2.7 nos relaciona la flecha f en función de la tensión T
O
, del peso unitario del
conductor P y de la longitud del vano a.
Si comparamos esta ecuación de la parábola con la de la catenaria:
1
2T
cosh
0
0
aP
P
T
f
(2.9)
Podremos observar la complejidad de ésta, y como demostraremos más adelante, los
resultados serán prácticamente iguales.
Nos interesa trabajar con la tensión T
A
en lugar de la empleada hasta ahora T
O
.
Observamos el triángulo de fuerzas compuesto por T
O
, T
A
y P
L
(figura N° 2.9):
Figura N° 2.9
y aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:
2
2
0
2
2
a
P
T
T
A
(2.10)
En los casos prácticos que se nos presentan en las líneas aéreas de alta tensión, el valor del
ángulo
formado por T
O
y T
A
es muy pequeño, por lo que podemos asegurar que T
O
T
A
,
aproximación que emplearemos en cálculos posteriores. Esto equivale a afirmar que la tensión a
lo largo del conductor es constante.
Referente a T
A
, podemos decir que esta tensión no debe sobrepasar nunca el valor de la
carga de rotura del conductor Q , pues de lo contrario se rompería:
S
Q
(2.11)
Siendo
el coeficiente de resistencia a la tracción del conductor utilizado y S la sección
del mismo.
Puesto que un conductor no debe trabajar nunca en condiciones próximas a las de rotura,
se deberá admitir un cierto coeficiente de seguridad n tal que:
n
Q
n
S
T
A
max
(2.12)
2.9.2.1.- Comparación entre la catenaria y la parábola
Con un conductor HAWK calculamos las flechas para distintos vanos con un coeficiente
de seguridad de 4. El conductor HAWK presenta una tensión de rotura de 8.820 kg y un peso
unitario de 0,975 kg/m.
La flecha para la catenaria es:
1
2T
cosh
0
0
aP
P
T
f
(2.13)
La flecha para la parábola es:
0
2
8T
Pa
f
(2.14)
Los valores que sustituimos son:
m
Kg
P
Kg
n
Q
T
/
975
.
0
;
2205
4
8820
(2.15)
De esta forma elaboramos la tabla N° 2.4, en la que aparece la longitud del vano en
metros, la flecha para la catenaria y para la parábola en metros y la diferencia entre los dos
valores expresada en tanto por ciento.
Tabla N° 2.4
Vano
Catenaria
Parábola
%
100
0.553
0.553
0.005
200
2.213
2.213
0.017
400
8.857
8.852
0.065
600
19.945
19.916
0.146
800
35.499
35.406
0.261
1000
55.548
55.322
0.407
12000
80.133
79.664
0.585
1400
109.302
108.432
0.796
1600
143.111
141.624
1.038
1800
181.627
179.244
1.312
2000
224.925
221.289
1.616
Como podemos comprobar de la observación de la tabla, es suficiente aproximación el
empleo de la parábola, sobre todo para vanos inferiores a 1000 metros.
2.9.3.- Longitud del conductor
Dada la flecha que se produce en un vano, la longitud del conductor no es igual a la
distancia entre los postes. Por lo tanto, para hallar el valor exacto del conductor empleado,
obtendremos la expresión de la longitud del conductor en un vano, en función de la flecha y de la
distancia entre los postes (figura N° 2.10).
Figura N° 2.10
Tomamos un elemento diferencial de longitud dl, para el que se verifica:
2
2
2
dy
dx
dl
(2.16)
Podemos multiplicar y dividir por dx²:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
*
dx
dx
dy
dx
dy
dx
dx
dl
(2.17)
Del apartado anterior sabemos que (T = T
O
= T
A
):
T
Px²
y
2
(2.18)
y derivando respecto a x podemos obtener el valor de dy/dx:
T
xP
T
xp
dx
dy
2
2
(2.19)
Por lo tanto al sustituir dx/dy en la expresión de dl², nos queda:
2
2
2
1
dx
T
xP
dl
(2.20)
Para no arrastrar expresiones llamamos
a:
2
2
x
y
T
P
(2.21)
y la expresión de dl resulta:
dx
x
dl
2
/
1
2
1
(2.22)
Para resolver el corchete empleamos la fórmula del binomio de Newton:
.....
!
2
1
2
1
2
1
!
1
2
1
1
1
4
2
2
/
1
2
x
x
x
(2.23)
La longitud del conductor en la mitad del vano se obtiene integrando dl desde 0 hasta x:
x
x
x
dx
x
x²
dx
x²
dl
0
0
0
4
4
2
2
/
1
2
....
8
1
2
1
1
1
1
(2.24)
Integrando cada sumando resulta:
...
40
1
6
1
...
5
8
1
3
2
1
1
5
4
3
2
5
4
3
2
x
x
x
x
x
x
(2.25)
Sustituyendo
por su valor
2
2
x
y
queda:
...
*
5
2
*
3
2
...
16
*
40
1
4y
*
6
1
1
3
4
2
5
8
4
3
4
2
x
y
x
y
x
x
x
y
x
x
x
(2.26)
Como x = a / 2 y la flecha es y = f queda:
...
5
16
3
4
2
...
8
5
2
2
3
2
2
1
3
4
2
3
4
2
a
f
a
f
a
a
f
a
f
a
(2.27)
La longitud del conductor en la totalidad del vano será el doble que en la mitad, por lo
tanto L = 2 l, es decir:
...
5
32
3
8
3
4
2
a
f
a
f
a
L
(2.28)
Para vanos normales, sólo se emplean los dos primeros términos, pues la aproximación es
más que suficiente:
a
f
a
L
2
3
8
(2.29)
Teniendo en cuenta la ecuación de la flecha:
T
Pa2
f
8
(2.30)
La longitud total del conductor queda:
2
3
2
24T
a
P
a
L
(2.31)
2.9.4.- Acciones sobre los conductores
Para efectuar el cálculo mecánico de un conductor es fundamental conocer cuáles son las
fuerzas que actúan sobre el mismo. En principio, se puede pensar que la única fuerza que actúa
sobre el conductor es la fuerza de tensado, pero es necesario tener presente que ésta es la
consecuencia equilibradora de las demás acciones, ya que, si el conductor estuviera en el suelo, la
tensión para mantenerlo recto sería nula.
De esta forma se ve que es el peso de un conductor el que crea la tensión a la que está
sometido. Así pues, el primer dato que debe considerarse es su propio peso, pero además
existirán acciones importantes debidas a las inclemencias atmosféricas (hielo, frío, calor o
viento).
Se divide la acción de la carga sobre los conductores en 3 partes (tabla N° 2.5):
Tabla N° 2.5
Tipo carga
r (mm)
p (gr/cm²)
t °c
K
Pesada
12.7
1.95
-17.8
0.432
Mediana
6.3
1.95
-9.5
0.283
Liviana
0
4.4
-1.1
0.074
Donde:
r
:
Espesor radial de la capa de hielo (figura N° 2.11)
p
:
Presión del viento
t°
:
Temperatura
K
:
Constante (factor de seguridad)
r
D
Figura N° 2.11
El viento actúa de forma horizontal, mientras que el peso del conductor lo hace
verticalmente. Por locuaz debemos componer ambas fuerzas (figura N° 2.12)
v
vh
v©
Viento
g'
h
Figura N° 2.12
La resultante g’ es la fuerza resultante en un conductor sometido a la acción del viento:
2
2
'
v
h
g
(2.32)
D
p
h
*
*
01
.
0
(2.33)
h
c
v
v
v
(2.34)
2
2
2r
*
000717
.
0
D
D
v
h
(2.35)
Donde:
g´
:
Fuerza resultante (kg/m)
h
:
Componente horizontal producto de la presión del viento (kg/m)
v
:
Carga total vertical (kg/m)
vc
:
Peso propio del cable (kg/m)
v
h
:
Peso correspondiente al hielo (kg/m)
D
:
Diámetro del conductor (mm)
r
:
Espesor radial de la capa de hielo (mm)
p
:
Presión del viento (gr/cm²)
Debido a los cambios de temperatura, el conductor se dilata o se contrae. Esto origina
variaciones en la tensión y en la flecha, que aunque no son muy importantes en vanos de pequeña
longitud, deberemos tenerlas en cuenta en el cálculo mecánico.
El peso del conductor no dependerá de la temperatura, lo consideraremos constante, esto
dependerá del viento y el hielo.
Como la dilatación es lineal responde a la ecuación:
t
L
L
1
0
1
(2.36)
Donde:
L
0
:
Longitud del conductor a cero grados (m)
L1
:
Longitud a la temperatura t (m)
a
:
Coeficiente de dilatación lineal (°C
-1
)
t
:
Temperatura considerada (°C)
Para hallar la variación de la longitud entre dos temperaturas diferentes t1 y t2 haremos:
2
1
0
2
0
1
0
2
1
1
1
t
t
L
t
L
t
L
L
L
(2.37)
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