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Teoría de Colas o Líneas de Espera



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Investigación desarrollada y enviada por:
Leoncio Hertz Fernández Jeri
Profesor Asociado del Departamento de Ingeniería en Gestión Empresarial
Universidad Nacional Agraria La Molina
Magister Scientiae en Economía
TEORIA DE COLAS
La Teoría de colas, de líneas de espera, es una colección de modelos matemáticos que
describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven
para encontrar el comportamiento de “estado estable”, como la longitud promedio de la línea
(cola) y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. 
Mas precisamente se pueden describir como "sistemas de procesamiento", pues es mas
amplio e incluye fábricas donde la elaboración de los trabajos se mueven en varias etapas
durante el proceso de fabricación, u oficinas donde el manejo de documentos(ejm.: solicitudes de
préstamo en un banco) lo realizan varios individuos, grupos o comités. En dicho caso se forman
"redes de colas"
El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance
correcto. Esto no es sencillo, ya que el cliente no llega en un horario fijo, es decir, no se sabe con
exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un
horario fijo.Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa entonces, para determinar
la capacidad de servicio apropiada. 
Esquema Simple de un Sistema de Colas :
Estructuras típicas de Colas.
Las llegadas pueden ser personas, cartas, carros, ensambles intermedios en una fabrica,
productos en general, etc. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos de varios sistemas
de colas . 
Ejemplos de sistemas de colas (Aplicaciones)
Situación
Llegadas
Cola                     Mecanismo de Servicio
Supermercados                 Clientes                        Colas en Caja              Cajeros
Bancos                              Clientes                        Colas en Caja              Cajeros
Aeropuerto 
Aviones 
Aviones en carreteo 
Pista 
Aeropuerto 
Pasajeros 
Sala de espera 
Avión 
Compañía telefónica 
Números marcados 
Llamadas 
Conmutador 
Lavado de carros 
Autos 
Autos sucios 
Mecanismo de lavado 
Panadería 
Clientes 
Clientes con números  Vendedor 
Carga de camiones 
Camiones 
Camiones en espera 
Muelle de carga 
Oficina de correos 
Cartas 
Buzón 
Empleados por correos 
Crucero 
Autos 
Autos en línea 
Crucero 
Fábrica 
Subensamble 
Inventario en proceso  Estación de trabajo. 
Reproducción 
Pedidos 
Trabajos 
Copiadoras 
Hospital 
Pacientes 
Personas enfermas 
Hospital 
Dpto. de bomberos 
   Alarmas de incendio    Incendios 
            Dpto. De Bomberos.
La corte                             Casos 
               Casos atrasados          Juez
Problemas relacionados a los Sistemas de Colas
La espera ocurre porque las instalaciones de servicio operan en forma aleatoria: La llegada
del cliente y su tiempo de servicio no se conocen con anticipación. De conocerse, la operación de
la instalación se podría programar en forma tal que se eliminaría “la espera” por completo.
     Definitivamente las colas están relacionadas con procesos que tienen variabilidad en las
llegadas de los clientes, productos o trabajos al sistema.
Los problemas son de 2 tipos :
1)
PROBLEMA DE ANALISIS .- Relacionados con el saber si un sistema dado está
funcionando satisfactoriamente. Se identifican preguntando :
a)
Cuál es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la fila antes de ser atendido?
b)
Cuánto demora el Servidor en atender al cliente o en procesar un producto?
c)
Cuáles son el número promedio y el máximo de clientes que esperan en la fila?
2)
PROBLEMAS DE DISEÑO.- Relacionados a las características de diseño del sistema.
a)
Cuántas personas o estaciones deben emplearse para proporcionar un servicio aceptable?
b)
Los clientes esperaran en una fila o en varias filas?
c)
Qué tanto espacio se necesita para que los clientes o productos puedan esperar?
SISTEMA DE COLAS 
Sistema en el que los productos o clientes llegan a una estación, esperan en una fila o cola,
obtienen algún tipo de servicio y luego salen del sistema.
CARACTERISTICAS Y COMPONENTES DE UN SISTEMA DE COLAS 
El análisis de un sistema de colas se realiza empleando técnicas y/o conceptos
estadísticos, matemáticos y de economía. 
Estas técnicas dependen de la clase de sistema al cual pertenece un problema de colas.
"Hay tantos tipos de sistemas como tantas combinaciones posibles de tipos de componentes"
Según esquema :
Protagonistas Principales del Sistema : Clientes y servidores
1)
Población de Clientes .- Conjunto de todos los clientes posibles. El problema a solucionar es
el determinar el tamaño de la población de clientes. Llamado "fuente de llamadas" o fuente
de llegadas de clientes 
-
Para fines prácticos se considera población infinita. Ejem:..................
-
El análisis de poblaciones finitas  considera diferente metodología que la infinita.
Ejemplo población finita :   ........ 
Existe una fuente finita cuando una llegada afecta la tasa de llegada de nuevos clientes
2)
Proceso de Llegada.- Es la forma como llegan los clientes. Las características mas
importantes del proceso de llegadas son el “Tiempo entre llegadas”(tiempo entre 2 llegadas
sucesivas) y el “número de llegadas”.
Existen básicamente 02 clases de tiempo entre llegadas : Determinístico y Probabilístico.
-
Determinístico .- Tiempo en el cual los clientes sucesivos llegan  en un mismo 
            intervalo de tiempo fijo y conocido.  Ejemplo :.....................
-
Probabilístico.- Tiempo en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y
variable.
Servidores
Clientes
Población de Clientes
Proceso de Llegada
Proceso de colas
Proceso de Servicio
Salida
SISTEMA
Se asume que los tiempos siguen una distribución exponencial:
f(t) =
e
-
t
Nota : Respecto al número de llegadas; cuando la distribución de tiempos entre llegadas es
exponencial,  la distribución para el número de llegadas es una distribución de Poisson :
f(t) = e
-
t
                                       t !
3.- Proceso de Colas.- Está referido a la forma en que los clientes esperan para ser atendidos.
Algunos Casos: Sistema de colas de una fila, servidores en paralelo.  Ejem:.......
                           Sistema de colas de múltiples filas, con servidores en paralelo. Ejem:....
Una característica importante relacionada al proceso de colas es la “Disciplina de colas”,
osea la forma en que los clientes esperan para ser atendidos o la forma como se elige a los
clientes de la línea de espera para dar inicio al servicio.
Algunas formas de disciplina de colas o de servicio:
-
PEPS(Primero en entrar, primero en salir; o FCFS).- Los clientes son atendidos en el
orden en que van llegando a la fila. Es la disciplina mas común y en apariencia justa.
      Ejem:..........
-
UEPS(Ultimo en entrar, primero en salir; o LCFS).- El cliente que ha llegado mas
recientemente es el primero en ser atendido. Ejem:.................
-
SIRO (servicio en orden aleatorio). Ejem:.....................
-
Selección de PRIORIDAD.- Los clientes son atendidos por prioridades. Ejem:...
4.-  Proceso de Servicio.- Tiene que ver con el diseño de la instalación y la ejecución del servicio
-
Puede existir una estación de servicio: Sistema de canal sencillo o en Serie
-
Puede existir mas de una estación de servicio: Sist. de canal múltiple(En serie y en
paralelo).
En cualquiera de los casos todos los servidores "ofrecen el mismo servicio" 
Ejemplos :
Permitiendo que varíen el número de colas y el número de servidores, pueden hacerse los
diagramas de los cuatro tipos de sistemas de las siguientes figuras:
-
El primer sistema que se muestra en la figura, se llama un sistema de un servidor y una
cola o puede describir un lavado de carros automático o un muelle de descarga de un solo
lugar.
-
El segundo, una línea con múltiples servidores, es típico de una peluquería o una
panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando llega el
turno. 
-
El tercer sistema, aquél en que cada servidor tiene una línea de separada, es característico
de los bancos y las tiendas de autoservicio.
-
El cuarto sistema , es una línea con servidores en serie, puede describir una fábrica. 
5.- Proceso de salida.- Se consideran 2 tipos:
-
El cliente abandona el sistema, luego de ser atendido: Sistema de “colas de un paso”
-
Los clientes o productos reciben un servicio, pero se trasladan a otro para ser sometidos a
otro proceso, lo que da como resultado una “red de colas”.
Nota : Los modelos de espera que representan situaciones en las que los seres humanos son
clientes y/o servidores, deben estar diseñados para tomar en cuenta el efecto de la conducta
del ser humano. Los modelos no pueden tomar en cuenta el comportamiento individual de los
clientes, en el sentido de que se espera que todos los clientes formados en una línea de espera se
"comporten" en la misma forma mientras permanecen en la instalación.
CLASIFICACION DE LOS MODELOS DE COLAS
La clasificación de los modelos se basa en los elementos básicos (componentes) de un
sistema de espera que dependen de los siguientes factores:
1.- Distribución de llegadas (llegadas individuales o masivas en grupo)
2.- Distribución del tiempo de servicio (servicio individual o masivo)
3.- Diseño de la instalación de servicio (en serie, en paralelo, en red)
4.- Disciplina de servicio(FCFS, LCFS, SIRO, por prioridad)
5.- Tamaño de la línea de espera (finito o infinito)
6.- Fuente de llamadas (población de clientes finita o infinita)
7.- Conducta humana (cambios, renuncias)
Existen tantos modelos de espera como variaciones de los factores citados
Para aplicar las técnicas apropiadas, se debe identificar las características del sistema de
colas. La clasificación se realiza empleando letras y/o símbolos. 
Notación (basado en Kendall, 1953)
Una notación que es en particular adecuada para resumir las características principales de
las líneas de espera en paralelo se ha estandarizado como sigue:
a/ b /c : d /e /f
Donde:
a = Distribución de llegadas: Proceso de llegadas
b = Distribución del tiempo de servicio (o de salidas): Proceso de servicio
c = Número de servidores en paralelo ( c = 1, 2, 3, ...,
)
d = Disciplina de servicio (FCFS, LCFS, SIRO o prioridad = Disciplina General, DG)
e = Número máximo admitido en todo el sistema (en la línea de espera mas en el servicio)
f = Tamaño de la población de clientes (fuente de llamadas finita o infinita)
La distribución de llegadas(a) y del tiempo de servicio (b) se reemplazan por los códigos
siguientes: M, D, Ek, GI, o G (cualquiera de los 5 códigos), y significan lo siguiente:
M = Distribución de llegadas o salidas de Poisson (proceso de Markov), o lo que es lo 
                    mismo, distribución exponencial entre llegadas o tiempos de servicio
D = Tiempo entre llegadas o de servicio son constantes o deterministas
           Ek = Distribución Erlang o Gamma para la distribución del tiempo entre llegadas  o 
                    tiempo de servicio, con el parámetro K
GI = Distribución de llegadas o del tiempo entre llegadas es general independiente 
            G  = Distribución del tiempo de servicio o salidas es general (no independiente)
Respecto a la disciplina de servicio se considera "DG" para indicar que es una disciplina
general en "notación kendall", y que pudiera ser FCFS, LCFS, SIRO o cualquier procedimiento
que puedan utilizar los servidores para decidir el orden en que se escogerá a los clientes de la
línea de espera para iniciar el servicio 
Ejemplos :
M/ D / 15 : DG / N /
M, significan que se tienen llegadas tipo Poisson (proceso de llegadas markov); D,
significa que se tienen tiempo de servicio o de salidas determinístico (constante); se tienen 15
servidores en paralelo; la disciplina de servicios es general; N significa que el sistema sólo puede
alojar a un máximo de N clientes;
es para indicar se tienen una población de clientes infinita o
que la fuente que genera los clientes que entran en la instalación tiene una capacidad infinita.
M/ M / 4 : DG /
/
M, significan que se tienen llegadas tipo Poisson (proceso de llegadas markov); M, significa que
se tienen tiempo de servicio o de salidas probabilistico exponencial(proceso de servicio markov);
se tienen 4 servidores o terminales en paralelo; la disciplina de servicios es general;
significa
que el sistema tiene capacidad ilimitada y el siguiente
es para indicar se tienen una población
de clientes infinita 
M / D / 4 : DG/ 
/
Indica que las llegadas son Poisson (el tiempo entre llegadas es probabilístico y
exponencial o de markov); el tiempo de servicio es determinístico. Existen 4 canales o
estaciones, la disciplina de servicio es general y no hay limite en la capacidad ilimitada o de la
fuente de llamadas.
M/M/R : DG/K/K  ; R
corresponde por ejemplo al modelo de servicio de máquinas
Este modelo supone que se dispone de "R" técnicos en reparaciones para dar servicio a un
total de "k" maquinas. Como una máquina descompuesta no puede generar nuevas llamadas
mientras esta en servicio, el modelo es un ejemplo de fuente de llamadas finita. Además tanto el
proceso de llegadas como el de servicio son probabilísticos y de markov. 
Qué significan :  M / M / 1 : FCFS /
/
                            M / M/ c : DG / N /
SELECCION Y EVALUACION DEL SISTEMA DE COLAS
La aplicación de la teoría de colas con el fin de seleccionar el modelo apropiado de líneas
de espera, en la practica , implica 2 aspectos principales:
1.- Selección del modelo matemático adecuado , con objeto de determinar las medidas de 
     desempeño del sistema
2.- Implantación de un modelo de decisión basado en las medidas de desempeño del sistema con 
     el fin de diseñar la instalación de servicio
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