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Teoría de Colas o Líneas de Espera



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La SELECCIÓN del modelo para analizar una línea de espera, sea analítico o por
simulación, está determinado principalmente por las distribuciones de los tiempos de llegada y
los tiempo de servicio. En la practica estas distribuciones se determinan observando las líneas
de espera durante su operación y registrando los datos correspondientes. Entonces: ¿cuándo
observar el sistema?, y ¿ Cómo registrar los datos?.
¿CUANDO OBSERVAR?
Se observa el sistema cuando esta funcionando "normalmente", esto cada una de sus
partes esta maniobrando. Para un investigador "conservador" será correcto observar y recopilar
los datos durante los "periodos de mayor actividad", que corresponde a los momentos de
congestión en los sistemas de colas; por lo que el sistema debe diseñarse para tomar en cuenta
esas condiciones extremas: Mayores tasas de llegadas(mayor número de clientes o
productos/unidad de tiempo).
Otra alternativa para observar, es simplemente cuando el sistema está en su
"comportamiento o fase estable": Tiempo de espera similar por cada cliente o producto
Cualquier sistema de colas pasa por 2 fases básicas: La fase transitoria y la fase estable.
En el curso, se resolverán sólo casos en condiciones estables.
¿CÓMO REGISTRAR LOS DATOS?
La recolección de datos relativos a llegadas y salidas se puede efectuar utilizando
uno de dos métodos:
Método 1.- Medir el tiempo entre llegadas (o salidas) sucesivas para determinar los tiempos entre
arribos (o servicio). Se busca analizar las distribuciones de los tiempos entre arribos o servicios
Método 2.- Contar el número de llegadas ( o salidas) durante una unidad de tiempo seleccionada
(por ejemplo, una hora). Se busca analizar las distribuciones del número de llegadas o salidas. 
Para la recolección de datos se pueden usar : Un cronómetro o un dispositivo de registro
automático(cuando las llegadas ocurren a una tasa alta)
La información deberá resumirse en una forma adecuada para luego determinar la
distribución asociada: Elaboración de un histograma de frecuencias, gráfica de la distribución
empírica, prueba de bondad de ajuste. El tiempo está asociado a la distribución exponencial y el
  Tiempo
de Espera
Número de
         Clientes
FASE
TRANSITORIA
FASE
ESTABLE
número de llegadas a la Poisson. Si no es así, puede ser necesario buscar otros métodos de
análisis para completar el estudio: La simulación es muy adecuada para investigar situaciones de
"mal comportamiento" en filas que no se pueden analizar por medio de los modelos teóricos
estándar de líneas de espera.
Indicadores para Evaluar el Rendimiento de un Sistema de Colas
                                                           
W      
                                                             
                                               
Wq
                                   O   O   O    O   O   O   O    O
                                       Lq
                                               L
RELACIONADOS CON EL TIEMPO :
W o Ws = Tiempo promedio en el sistema
Wq        = Tiempo promedio de espera (en cola)
RELACIONADOS CON EL NUMERO DE CLIENTES :
L o Ls =  Número promedio de clientes en el sistema
Lq       =  Número promedio de clientes en la cola
Pw      =  Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar(ningún cajero vacío)
Pn       =  Probabilidad de que existan “n” clientes en el sistema
                n = 0, 1, 2, 3.......
Po      =  Probabilidad de que no hayan clientes en el sistema
Pd     = Probabilidad de negación de servicio , o probabilidad de que un cliente que 
            llega no pueda entrar al sistema debido que la “cola está llena”
RELACIONES ENTRE LAS MEDIDAS :
Si 
=Número promedio de llegadas por unidad de tiempo (tasa de llegadas)
    
=Número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en un canal(tasa de servicio)
Se cumple :
a)            Ws       =        Wq      +      1 /
          Tiempo          Tiempo             Tiempo
         Promedio  =    promedio   +    promedio 
     en el sistema       de espera         de servicio
b)          Ls               =             
      .         Ws
        # Promedio              # Promedio        Tiempo promedio
          de clientes    =        de llegadas         en el sistema
         en el sistema        por unidad de tiempo
c)          Lq               =             
        .          Wq
        # Promedio              # Promedio        Tiempo promedio
          de clientes    =        de llegadas          en la cola
          en la cola             por unidad de tiempo
ALGUNOS MODELOS DE LINEAS DE ESPERA
Se estudiaran principalmente modelos con procesos de markov; cada modelo se describe
con notación extendida de Kendall.  Los servidores son en paralelo. Las formulas para cada caso
se obtienen a partir las probabilidades de estado estable de tener "n" clientes en el sistema. Estas
probabilidades, entonces, se usan para desarrollar las medidas de desempeño del modelo de línea
de espera.
Bibliografía : Mathur y Solow (pg. 710 y ss)
Taha Hamdy (pg. 655)
CASO 1 :   M / M / 1, o mas específicamente M/M/1 : DG/
/
 
Algunas características : Población de clientes infinita, llegadas de clientes probabilística
según Poisson; una línea de espera y un solo servidor o canal de atención con tiempo de servicio
exponencial.
Supuesto: Condición Estable; cuando 
, osea la tasa de servicio promedio es mayor
que la tasa de llegadas promedio.
(Sigue Fórmula y/o Medidas de rendimiento......)
                      
CASO 2 :   M / M / c  o mas específicamente M/M/c : DG/
/
Algunas características : Población de clientes infinita, llegadas de clientes probabilística según
Poisson; una línea de espera; “c” servidores idénticos(con tiempo de servicio y tiempo entre
llegadas probabilístico y exponencial)
Supuesto: Condición Estable; cuando   c
, osea la tasa de servicio promedio es
mayor que la tasa de llegadas promedio.
(Sigue Fórmula y/o Medidas de rendimiento......)
CASO 3 :   M / M / c o mas específicamente M/M/1 : DG / N /
La única diferencia entre este modelo y el M/M/1 : DG /
/
(Sigue Fórmula y/o Medidas de rendimiento......)
Aplicaciones de Teoría de Colas
“Únicamente si determina que el modelo de aproximación es válido, entonces deberá
considerar la instrumentación de las decisiones, basándose en las medidas de rendimiento
obtenidas con el modelo”.
Para sistemas mas complejos y variantes a los casos 1 o 3. Cuando por ejemplo ya no se
cumple FCFS, o mas de una fila, etc. Podría ser que los clientes llegan en lotes, clientes que
piden mas de un servicio, clientes que renuncian a la cola o que se cambian de cola; la alternativa
es usar “Simulación”.
APLICACIÓN EN BANCO 
REPORTES DE SERVIMATIC: Banco de Crédito del Perú (BCP)
Evaluación de los Reportes diarios por promotor
REPORTE DIARIO CONSOLIDADO POR OFICINA
Tipo de
Cliente
Nivel de
Atención
Usuarios
Total    F.T.M
Tiempo
Promedio
Espera
Tiempo
Promedio
Atención
Transacciones
VIP
Cliente
No Cliente
Especial
Interno
94.12  %
78.69
%
86.73  %
------
------
  34            2
244            52
211            28
   1            -----
   0            -----
00: 02:05
00:07:43
00:09:44
    00:00
    00:00
00:02:28
00:02:05
00:02:19
    01:06
    00:00
85
490
472
1
0
Total
490
00:08:10
00:02:12
1048
Calificación del Día : Deficiente
REPORTE DIARIO CONSOLIDADO POR OFICINA
Tipo de
Cliente
Nivel de
Atención
Usuarios
Total    F.T.M
Tiempo
Promedio
Espera
Tiempo
Promedio
Atención
   
   Transacciones
VIP
Cliente
No Cliente
Especial
Interno
96.43  %
99.34  %
100.00%
-------
------
  28             1
152             1
209             0
   2            -----
   0            -----
00: 01:06
00: 02:23
00: 04:08
       00:00
       00:00
00:02:35
00:02:39
00:02:26
       02:24
       00:00
47
295
437
2
0
Total
391
00:03:12
00:02:31
781
Calificación del Día : Satisfactorio
REPORTE DIARIO CONSOLIDADO POR OFICINA
Tipo de
Cliente
Nivel de
Atención
Usuarios
Total    F.T.M
Tiempo
Promedio
Espera
Tiempo
Promedio
Atención
Transacciones
VIP
Cliente
No Cliente
Especial
Interno
100.00  %
93.30  %
98.45
%
-------
------
  32             0
224             15
194               3
   0            -----
   0            -----
00: 01:18
00:04:16
00:07:36
    00:00
    00:00
00:02:58
00:02:42
00:02:27
    00:00
    00:00
66
494
435
0
0
Total
450
00:05:29
00:02:36
995
Calificación del Día : Regular
El Resumen de Agencia indica que :
-
Se atendió 32 clientes VIP, en un tiempo menor de 6 min (c/u). Se dice que el nivel de
atención fue del 100% y la FTM es 0. Los 32 clientes realizarón 66 transacciones.
-
Se atendió 224 clientes  en un nivel del 93.3% (antes de 24 min), y los demás (15 clientes)
fueron atendidos  en mas de 24 minutos.
-
Se atendió 194 No clientes, quienes realizaron 435 transacciones (pago de celular, AFP,
Sunat, Luz, etc).
-
La calificación del día resulta de la comparación : Nivel de atención vs. FTM(fuera del
tiempo máximo)
Ejercicios
Modelo de un servidor y una cola (M/M/1)
Fórmulas (Caso 1 o M/M/1; escritas en pizarra)
Ejemplo : (Un supermercado )
Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan para
que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay
poco intercambio entre las líneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de
una sola línea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12
por hora y considerando M/M/1, evalúe el sistema. 
Solución: 
Interpretación de resultados: El cliente promedio espera 15 minutos antes de ser servido. En
promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El proceso completo
lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75 % del tiempo. Y finalmente, el 32
% del tiempo habrá cuatro personas o más en el sistema ( o tres o más esperando en la cola). 
Modelo con servidores múltiples (M/M/c)
Supóngase que las llegadas son Poisson, los tiempos de servicio son exponenciales, hay una sola
línea, varios servidores y una cola infinita que opera con la disciplina de primero en llegar
primero en ser servido(PEPS). 
Fórmulas (Caso 2 o M/M/c; escritas en pizarra)
Para dos o tres servidores pueden combinarse y simplificar las dos ecuaciones (pizarra) 
Ejemplo:
Considérese la biblioteca de una universidad cuyo personal está tratando de decidir cuántas
copiadoras o fotocopiadoras debe de instalar para uso de los estudiantes. Se ha escogido un
equipo particular que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se sabe cuál es el costo de
espera para un estudiante, pero se piensa que no deben tener que esperar más de dos minutos en
promedio. Si el número promedio de copias que se hacen por usuario es cinco, ¿cuántas
copiadoras se deben instalar?.
¿Cuál es la tasa de servicio? Si el número promedio de copias es cinco y la copiadora puede
hacer hasta 10 copias por minuto, entonces pueden servirse en promedio hasta dos estudiantes
por minuto. Pero, en esto no se toma en cuenta el tiempo para pagar, cambiar originales, para que
un estudiante desocupe y otro comience a copiar. Supóngase que se permite un 70 % del tiempo
para estas actividades. Entonces la tasa de servicio neta baja a 0.6 estudiantes por minuto.
Además se supone que los periodos pico de copiado tienen una tasa de llegada de 60 estudiantes
por hora, o 1 por minuto. 
 
COSTOS EN LOS SISTEMAS DE COLAS
 
Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia , la cola y la
instalación de servicio . Las
llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el
servicio. Siempre se unen primero a la cola ; si no hay línea de espera se dice que la cola esta
vacía . De la cola, las llegadas van a la instalación de servicio de acuerdo con la disciplina de la
cola, es decir, de acuerdo con la regla para decidir cuál de las llegadas se sirve después. El
primero en llegar primero en ser servido es una regla común, pero podría servir con prioridades o
siguiendo alguna otra regla. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en
salidas.
Ambos componentes del sistema tienen costos asociados que deben de considerarse. 
SISTEMA DE COSTO MÍNIMO
La selección de un modelo adecuado de líneas de espera, sólo puede darnos "medidas de
desempeño" que describen el comportamiento del sistema analizado. En la investigación de
operaciones, nos interesará desarrollar "modelos de decisión" que minimicen los costos totales
asociados con la operación de líneas de espera.
                                                           Nivel óptimo de servicio               Tasa o nivel de servicio
En general, un modelo de costos en líneas de espera busca equilibrar: Los costos de
espera contra los costos de incrementar el nivel de servicio
Conforme crece el nivel de servicio, los costos de este también crecen y disminuye el
tiempo de espera de los clientes. El nivel de servicio "óptimo" se presenta cuando la suma de los
dos costos es un mínimo.
Se supone que para tasas bajas de servicio, se experimenta largas colas y costos de espera
muy altos . Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el
costo de servicio y el costo total disminuye , sin embargo , finalmente se llega a un punto de
disminución en el rendimiento. Entonces el propósito es encontrar el balance adecuado para que
el costo total sea el mínimo. 
Costo de Espera, o Costo de clientes en espera por unidad de tiempo
Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosa
y esta dado por : 
Costo total de espera = Cw * L 
Donde Cw = costo de espera (en u.m.) por llegada por unidad de tiempo y L= longitud promedio
de la línea en el sistema. 
Costo total
Nivel de
servicio óptimo
Costo de operación de
la instalación de
servicio por unidad de
tiempo
Costo de clientes
en espera por
unidad de tiempo
Costos
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