Costo de Servicio, o Costo de operación de la instalación de servicio por unidad de tiempo
Costo total de servicio = Cs * C
Donde Cs = costo por servidor (en u.m.) por llegada por unidad de tiempo y C= Número de
servidores o cajeros.
Costo total del sistema : Costo de espera mas costo de servicio = CwL + Cs C
MODELO DE COSTOS
Los modelos de costos, básicamente equilibran los dos tipos siguientes de costos en conflicto:
1.- Costo de ofrecer servicio, desde el punto de vista del servidor
2.- Costo que resulta de la demora en el ofrecimiento del servicio, desde el punto de vista del
cliente
A continuación se desarrollan 02 modelos de costos: Modelo de tasa optima de servicio (c =1)
y modelo del número óptimo de servidores en paralelo(c
1)
MODELO DE LA TASA OPTIMA DE SERVICIO (
)
Considerando un solo servidor con una tasa de llegadas,
, conocida; se desea determinar la tasa
óptima de servicio
asociada a un modelo de costo apropiado.
Sean CEO (
) = Costo estimado de operar la instalación / unidad de tiempo, dada
CEE (
) = Costo estimado de espera / unidad de tiempo
Se busca determinar el valor de
que minimiza la suma de dichos costos. Las fórmula para CEO
y CEE como funciones de
dependen de la situación analizada. Pueden ser o no relaciones
lineales, también pueden ser continuas o discretas, dependiendo de la característica de
MODELO DEL NUMERO OPTIMO DE SERVIDORES ( c )
Ampliando el modelo anterior para determinar el número óptimo de servidores en paralelo, se
sigue que el número de servidores " c" que minimiza está dado por:
CET ( c ) = CEO ( c ) + CEE ( c )
El valor óptimo de " c " debe satisfacer la siguientes condiciones necesarias:
CET ( c -1)
CET ( c ) y CET (c + 1)
CET (c )
Y siendo : (ver pag. 14)
CEO ( c ) = C1 c
CEE ( c ) = C2 Ls ( c)
Donde : c = número de servidores en paralelo
C1 = Costo por servidor adicional por unidad de tiempo
C2 = Costo por tiempo unitario de espera por cliente
Ls (c ) = número esperado de clientes en el sistema, dado c
Aplicando las condiciones necesarias, se obtiene:
Ls (c ) - Ls (c + 1)
C1
Ls (c -1 ) - Ls (c )
C2
El valor de C1/C2 indica dónde deberá comenzar la búsqueda para el " c" óptimo
No todos los modelos de líneas de espera se pueden optimizar usando modelos de costos.
Se puede usar también modelos de decisión basándose en "niveles de aceptación", tal como se
presenta a continuación.
MODELO DEL NIVEL DE ACEPTACION
Si en muchas situaciones será difícil estimar costos, se puede usar el modelo del nivel de
aceptación. Este modelo analiza las características de la operación del sistema para decidir sobre
los valores óptimos de los parámetros del diseño. El nivel o los limites de aceptación lo define el
decisor, en base a su conocimiento y experiencia en el sistema y buscando equilibrar las medidas
conflictivas de la instalación.
Así en el modelo de servidores múltiples donde se requiere determinar el valor óptimo
del número de servidores " c ", se buscará equilibrar las dos medidas conflictivas que son:
a)
Tiempo promedio de espera en el sistema : W s
b)
Porcentaje X de tiempo inactivo de los servidores
Se pueden establecer los niveles (limites superiores:
,
) de aceptación, expresados
matemáticamente como :
Ws
y X
Reemplazando las formulas para hallar Ws y X según sea el caso; se puede resolver
gráficamente : Se localiza el valor de "c" dentro del nivel aceptable.
Intervalo aceptable de c
Ws
X
" c "
REGISTRO DE DATOS PARA EL ANALISIS DE COLAS
Caso Práctico
I) Mediciones necesarias para el análisis :
1.
La hora de llegada de cada usuario (cliente) al sistema
2.
La hora en que el usuario comienza a ser atendido
3.
La hora en que el usuario termina de ser atendido
Con las horas anteriores, se puede calcular :
4.
La cantidad de usuarios por unidad de tiempo que llegan al sistema
5.
El tiempo promedio entre dos llegadas consecutivas
6.
La cantidad de usuarios atendidos por unidad de tiempo
7.
El tiempo promedio de atención de cada usuario
8.
El tiempo en cola del usuario
9.
El tiempo en el sistema del usuario
10. La cantidad promedio de usuarios en cola
11. La cantidad promedio de usuarios en el sistema.
II) Registro de datos
Para determinar el comportamiento de las colas, se registra dos datos:
2.1.La cantidad de usuarios que llegan por unidad de tiempo
2.2.El tiempo de servicio de cada usuario
2.1. Cantidad de Usuarios que llegan por unidad de tiempo :
La cantidad de usuarios que llegan (llegadas) por unidad de tiempo es un promedio,
alrededor del cual se comporta el modelo. El cálculo es aritmético :
a)
Se establece un tiempo inicial y un tiempo final de observación del modelo :
Tiempo total = Tiempo final - Tiempo inicial
b)
Entre estos tiempos se cuenta la cantidad de llegadas
c)
Se divide la cantidad de llegadas entre la diferencia de tiempos. Este promedio se expresa en
unidades de :
= Usuarios / unidad de tiempo
Ejemplo :
// // // // // //
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t
Entre los minutos 3 y 12 llegan 6 usuarios(clientes) al sistema
= 6 usuarios = 2/3 clientes / minuto = 40 clientes /hora
(12 - 3) minutos
d)
Al medir la cantidad de llegadas por unidad de tiempo, es necesario demostrar que tiene
distribución de Poisson :
Ejemplo : Ajuste de Distribución Poisson :
Para una muestra de 50 clientes se obtuvo :
Hora de llegada
Hora de Inicio
Tiempo de servicio
Hora de Fin
5
95
140
147
152
165
184
191
192
226
.....
......
1445
1451
5
95
140
172
174
180
215
223
259
348
....
.....
1490
1553
13
7
32
2
6
35
8
36
89
39
.....
.....
71
27
18
102
172
174
180
215
223
259
348
387
.....
.....
1561
1580
Procedimiento para realizar la Prueba de Poisson
1º. Se presenta el minuto de llegada de 50 clientes :
5
95
140
147
152
165
184
191
192
226
263
269
277
324
480
509
547
562
569
713
737
783
823
826
830
856
878
908
999
1020
1110
1116
1129
1138
1148
1223
1231
1244
1298
1315
1336
1346
1359
1388
1408
1423
1430
1434
1445
1451
El promedio de la cantidad de llegadas por unidad de tiempo es 50 usuarios en 1451
minutos :
= 50 usuarios = 0.03446 usuarios/minuto = 2.068 usuarios/hora
1451minutos
2º. Se elige un “segmento” (ancho de clase)de 60 minutos como unidad. No existe un criterio
para definir el “segmento”. Sin embargo, como se verá en el paso 3 y 4, con 60 minutos se
obtiene frecuencias con las que se puede trabajar. Si no fuera el caso, hubiera sido necesario
tantear con segmentos de 30 y 90 minutos.
3º. Cantidad de llegadas (conteo) en cada segmento de tiempo :
Segmento
Cantidad de llegadas
Segmento
Cantidad de llegadas
0-60>
60-120>
120-180>
180-240>
240-300>
300-360>
360-420>
420-480>
480-540>
540-600>
600-660>
660-720>
720-780>
1
1
4
4
3
1
0
0
2
3
0
1
1
780-840>
840-900>
900-960>
960-1020>
1020-1080>
1080-1140>
1140-1200>
1200-1260>
1260-1320>
1320-1380>
1380-1440>
1440-1500>
4
2
1
1
1
4
1
3
2
3
5
2
4º. Se cuenta la frecuencia de ocurrencia de cantidad de llegadas por segmento :
Cantidad de llegadas por
segmento de 60 minutos(x)
Frecuencia con que
ocurrió
0
1
2
3
4
5
6 o mas
3
9
4
4
4
1
0
5º. Se calcula la frecuencia esperada con la fórmula : ei = n P
P = (x, t = 60 min) = exp(-0.03446 * 60) (0.03446 * 60)
x
x !
6º. Se mide la bondad de ajuste con la prueba Chi-cuadrado
Ejemplo : Ajuste según la prueba Exponencial(negativa)
Al medir los tiempos de duración, es necesario demostrar que tienen distribución
exponencial negativa.
Procedimiento para realizar la Prueba Exponencial
1º. Se presenta el tiempo de duración en minutos de cada servicio :
13
7
32
2
6
35
8
36
89
39
49
15
5
45
16
4
4
12
8
19
13
8
16
21
32
3
72
50
5
93
10
17
14
37
15
46
5
32
6
20
19
35
3
3
2
1
5
9
71
27
El promedio del tiempo de servicio es :
u = 1/
= (13 + 7 + ....+ 71 + 27) minutos = 1134 = 22.68 min/usuario
50 usuarios 50
Entonces,
= 0.044 usuarios/ minuto = 2.64 usuario/hora.
2º. Se escoge intervalos entre 0 y 93, con un último intervalo que llegue hasta infinito.
Por Sturges : Intervalo = 1 + 3.32 log (50) = 6.6 = 7 intervalos.
Se escoge intervalos de 93/7 = 13.29 unidades. Y puesto que este es un valor referencial, se
puede usar un valor como 12.
3º. Frecuencia observada de los tiempos (conteo):
Intervalo
Frecuencia observada
0 – 12>
12-24>
24-36>
36-48>
48-60>
60-72>
72-84>
84 o mas>
20
13
6
5
2
1
1
2
4º. Cálculo de la frecuencias esperadas: ei
Si :
= 0.044 clientes atendidos/minuto
Por fórmula , la frecuencia esperada = e i = nP
Aplicando el proceso de integración y sustitución de variable, con el fin de calcular las
frecuencias esperadas, el valor de P es :
P = exp(-0.044 a) - exp(-0.044 b)
ei = 50P ; a = limite inferior de clase ; b = límite superior de clase.
5º. Se concluye la bondad de ajuste con la prueba chi-cuadrado
Nota : Si los datos medidos no se ajustaran a las distribuciones mencionadas, podría deberse a
que el tamaño de la muestra no es lo suficientemente grande , o que simplemente no provienen
de las distribuciones Poisson o exponencial.
Investigación desarrollada y enviada por:
Leoncio Hertz Fernández Jeri
Profesor Asociado del Departamento de Ingeniería en Gestión Empresarial
Universidad Nacional Agraria La Molina
Magister Scientiae en Economía
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