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Vibraciones Mecánicas



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VIBRACIONES MECANICAS – MODELAMIENTO MATEMATICO
POR: Ing. Oscar Mauricio Barajas P.
1. INTRODUCCION.
El aumento permanente de las potencias en máquinas, junto con una disminución
simultánea de gasto de materiales, y la alta exigencia de calidad y productividad
industrial, hacen que el análisis dinámico de las vibraciones mecánicas en
máquinas e instalaciones industriales sea cada vez más exacto.
El Ingeniero debe ser capaz de trabajar sobre vibraciones, calcularlas,
medirlas, analizar el origen de ellas y aplicar correctivos.
Hace más o menos 40 años, la temática de vibraciones mecánicas se
constituyó en parte integral de la formación de ingenieros mecánicos en los
paises industrializados.
El fenómeno de las vibraciones mecánicas debe ser tenido en cuenta para el
diseño, la producción y el empleo de maquinaria y equipos de automatización. Así
lo exige un rápido desarrollo tecnológico del país.
Aunque este artículo se enfoca hacia las vibraciones en sistemas mecánicos, el
texto y los métodos analíticos empleados son compatibles con el estudio de
vibraciones en sistemas no mecánicos.
2. DEFINICION DE VIBRACIÓN.
No existe una definición bien exacta de VIBRACION; más sin embargo, se
pueden considerar como vibraciones, las variaciones periódicas temporales de
diferentes magnitudes.
Específicamente, una vibración mecánica es el movimiento de una película o de
un cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio.
Al intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de
movimiento se le llama PERIODO de la vibración. El número de ciclos por unidad
de tiempo define la FRECUENCIA del movimiento y el desplazamiento máximo del
sistema desde su posición de equilibrio se llama AMPLITUD de la vibración.
3. CAUSAS DE LAS VIBRACIONES MECANICAS.
Son muchas, pero básicamente las vibraciones se encuentran estrechamente
relacionadas con tolerancias de mecanización, desajustes, movimientos
relativos
entre superficies en contacto, desbalances de piezas en rotación u oscilación,
etc.; es decir, todo el campo de la técnica.
Los fenómenos anteriormente mencionados producen casi siempre un
desplazamiento del sistema desde su posición de equilibrio estable originando
una vibración mecánica.
4. CONSECUENCIAS DE LAS VIBRACIONES.
La mayor parte de vibraciones en máquinas y estructuras son indeseables porque
aumentan los esfuerzos y las tensiones y por las pérdidas de energía que las
acompañan. Además, son fuente de desgaste de materiales, de daños por fatiga y
de movimientos y ruidos molestos.
" Todo sistema mecánico tiene características elásticas, de amortiguamiento y
de oposición al movimiento; unas de mayor o menor grado a otras; pero es
debido a
que los sistemas tienen esas características lo que hace que el sistema vibre
cuando
es sometido a una perturbación ".
" Toda perturbación se puede controlar, siempre y cuando anexemos bloques
de control cuya función de transferencia sea igual o invertida a la función de
transferencia del sistema ".
" Si la perturbación tiene una frecuencia igual a la frecuencia natural del sistema, la
amplitud de la respuesta puede exceder la capacidad física del mismo,
ocasionando
su destrucción ".
5. MODELO MATEMATICO CLASICO. La
ecuación general de las vibraciones es:
(
Ecuación 1 ).
Donde Y es la magnitud que sufre variaciones periódicas temporales, P(t) la
variable de reforzamiento o fenómeno incidente de la vibración; a, b, y k son las
constantes características del sistema.
Utilizando transformada de Laplace, tenemos que:
( Ecuación 2 )
( Ecuación 3 )
Observamos que la Ecuación 3 nos define la función de transferencia general de
nuestro sistema de vibración, lo cual facilita el modelamiento y elaboración de
simulaciones.
6. MODELAMIENTO GENERAL DEL MOVIMIENTO VIBRACIONAL:
Un fenómeno incidente cualquiera puede provocar vibraciones en un sistema,
por lo tanto, en términos generales y universales, el movimiento vibracional de
un sistema afectado por un fenómeno incidente desencadenador de vibraciones
puede ser:
( Ecuación 4 )
En donde a constituye las propiedades del sistema, P(t) la función de
forzamiento, Y la magnitud que varía periódicamente, i identifica la magnitud del
sistema.
Sacando transformada de Laplace tenemos:
( Ecuación 5 )
( Ecuación 6 )
La Ecuación 6 identifica la función de transferencia universal de las vibraciones.
( Ecuación 7 )
Así mismo, la ecuación 7 identifica la Ecuación característica universal de las
vibraciones
Cuando la estructura de la vibración es lineal, tenemos que la solución a la
función general de transferencia es:
( Ecuación 8 )
( Ecuación 9 )
Como:
Tenemos que:
Entonces:
( Ecuación 10)
7. INFLUENCIA DE LAS VIBRACIONES MECANICAS EN LA OPERATIVIDAD
DE LAS MAQUINAS HERRAMIENTAS.
Las vibraciones mecánicas representan un factor de gran influencia en la calidad
del trabajo que se realiza con máquinas herramientas.
La rigidez de los órganos de trabajo y de sus apoyos en la máquina herramienta,
se define como la capacidad del sistema para resistir cargas exteriores,
asimilando las deformaciones elásticas admisibles sin alterar considerablemente
la capacidad de trabajo del sistema.
El coeficiente de rigidez se puede determinar mediante la siguiente ecuación;
( Ecuación 11 )
Las deformaciones provocadas en el sistema provocan variación de la mutua
disposición del instrumento cortante y la pieza, lo cual genera error en su
mecanizado.
Cuando un sistema tiene buenas condiciones de rigidez, se minimizan las
causas y los efectos de las vibraciones.
( Figura 1 ). Diagramación de causa efecto de las vibraciones en Máquinas
Herramientas.
Se debe hacer notar que la pretensión principal de la presentación de los
modelos físicos y teóricos sobre las vibraciones en las máquinas herramientas,
es tener el acopio apropiado de conceptos que posibilitan entender el discurrir
de dinámica del proceso de maquinado.
La rigidez en un proceso de maquinado depende de las condiciones
geométricas, la elasticidad del material y el sistema de sujeción de las
herramientas y el tocho a tallar, tal como lo indica la figura 1.
Las condiciones operativas del corte dependen de la velocidad de la
herramienta, la profundidad del corte y las condiciones superficiales de la pieza
a
tallar. ( Entendemos como condiciones superficiales la interacción geométrica
entre las dos superficies ).
(
Figura 2 ). Influencia de la velocidad de corte, las condiciones superficiales y
las condiciones de rigidez en la provocación de vibraciones en máquinas
herramientas.
8. ENERGIA Y CALOR EN VIBRACIONES.
La energía que hace vibrar a un sistema mecánico se puede denotar como Ev;
la energía natural del sistema se puede identificar como:
(
Ecuación 12 ).
La energía absorbida por el mismo sistema o por el medio ambiente se denota
Ea.
(
Ecuación 13 ).
Cuando t=0 tenemos:
(
Ecuación 14 ).
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