Otras modificaciones:
PID error cuadrático: Puede especificarse que un controlador actúe enérgicamente cuando se producen
grandes desviaciones del punto de consigna y que sea poco sensible para las pequeñas. Una solución consiste
en multiplicar a su expresión matemática por otra función f(e) = m+(1-m)·e donde e es la señal de error y m un
parámetro. Si m es cero equivale a una ley cuadrática del error y si m es 1 no afecta para nada. Normalmente
se le da el valor m=0,1 que mejora la salida frente a perturbaciones en la medida y alcanza más eficazmente la
consigna, pero produce mayores oscilaciones con el efecto de las perturbaciones del proceso.
PID+Todo o nada: Cuando el error se encuentra entre los límites +m y -m (parámetro adicional para este
regulador) actúa normalmente la acción PID. Cuando se rebasa, el comportamiento pasa a ser de tipo todo o
nada. Este controlador garantiza la máxima velocidad de respuesta frente a variaciones rápidas de consigna (el
error es grande y actúa el control todo o nada) y permite la acción PID clásica cuando la variable de salida se
acerca al valor de consigna.
TEORÍA DEL REGULADOR PID.
Parámetros del regulador PID.
Son la constante o ganancia proporcional (Kp), el tiempo integral (Ti) y el tiempo derivativo (Td). En lugar de
indicar la constante proporcional se da en ocasiones la banda proporcional expresada en tanto por ciento, se
calcula como la inversa de la constante proporcional y multiplicado por 100. El tiempo integral representa el
tiempo que necesita la acción integral para suministrar una señal igual a la proporcional. Si el error es un
escalón, la acción P será una horizontal y la acción I será una recta creciente. La suma será otra recta con igual
pendiente pero elevada una distancia igual a la acción P. Cuando ha transcurrido un tiempo igual a Ti, las
acciones proporcional e integral serán iguales, de donde se deduce la relación que se indica en la figura
siguiente. Cada vez que la acción integral alcanza a la proporcional se dice que se ha producido una repetición
y Ti se expresa en minutos o segundos por repetición. A veces se indica la inversa de Ti, quedando expresado
en repeticiones por minuto o segundo. Debe tenerse en cuenta que la acción integral disminuye al aumentar Ti,
de forma que para anular esta acción tendrá que darse a Ti un valor muy grande.
Si la señal de error aumenta linealmente con el tiempo (una señal en rampa), la acción P será igualmente una
recta con mayor o menor pendiente dependiendo del valor de Kp. Debido a que la pendiente del error es
constante, la acción derivativa será una recta horizontal. La acción combinada PD aparenta ser una acción
proporcional que se anticipa Td unidades de tiempo. Td se mide en segundos o minutos. Cuando ha pasado un
tiempo igual a Td, las acciones proporcional y derivativa son iguales como vemos en la perte derecha de la
figura anterior, de ello se deduce la relación entre Td y Kp. La acción derivativa aumenta si el valor Td aumenta,
de forma que para anular esta acción tendrá que darse a Td el valor cero.
Precisión estática de un control en lazo cerrado.
Se define como la relación entre las señales de error y de consigna cuando se ha alcanzado el equilibrio y se
multiplica por 100 para expresarlo en tanto por ciento. Vamos a llamar Kc a la ganancia del controlador en
régimen estático (en equilibrio), Kp a la ganancia del proceso y Ks a la ganancia del sensor.
Proceso autorregulable con controlador proporcional: En este ejemplo la precisión no es buena, luego existe un
error estático que no se anula y constituye un 14,3% del valor de consigna.
Proceso no autorregulable con controlador proporcional: En este caso tenemos un bloque integrador que no
permite en lazo abierto alcanzar el equilibrio (sistema no autorregulable). El bloque integrador no tiene
propiamente una ganancia estática porque el valor de su salida tiende a infinito con el tiempo cuando se le
aplica una entrada constante. El resultado de 0% (ejemplo de la figura) indica que la salida seguirá fielmente a
la consigna en régimen estático, aunque no nos da información sobre el comportamiento antes del equilibrio ni
tampoco sobre el tiempo necesario para alcanzarlo.
Proceso autorregulable con controlador PI: A diferencia del primer ejemplo, vemos que añadiendo una acción
integral en el controlador se elimina el error estático en un proceso autorregulable.
Precisión estática con perturbaciones.
Es frecuente que un sistema en lazo cerrado esté influido por perturbaciones que forman parte del proceso. Si
el sistema es lineal, el valor de una señal se puede calcular como la suma de los efectos que originan las
acciones que intervienen por separado. Así pues, para determinar el error correspondiente a la figura
hallaremos un primer error (e´) originado solamente por la consigna (con perturbación "t" igual a cero), un
segundo error (e´´) causado solamente por la perturbación (con la consigna igual a cero) y sumaremos los
resultados. Consideramos Kp1 la ganancia del proceso antes de la perturbación y Kp2 la ganancia del proceso
después de la perturbación.
Proceso autorregulable con controlador proporcional: En el primer ejemplo del apartado anterior se vió el mismo
caso pero sin perturbaciones, donde se justificó que la precisión ni era buena. Introduciendo una perturbación
de valor 7 (figura siguiente), la precisión es aún peor, ya que aumenta de 14.3 a 34.3 %.
Proceso no autorregulable con controlador proporcional: En el segundo ejemplo del apartado anterior se vió el
mismo caso pero sin perturbaciones, donde se justificó una perfecta precisión estática. Si introducimos una
perturbación de valor 7 (figura siguiente), el sistema deja de responder de manera precisa.
Proceso autorregulable con controlador PI: En el tercer ejemplo del apartado anterior se vió el mismo caso pero
sin perturbaciones, donde se justificó una perfecta precisión estática. Si introducimos una perturbación de valor
7 (figura siguiente), el sistema sigue manteniendo su precisión. Se constata que un regulador con acción
integral permite que la salida de un proceso autorregulable siga fielmente a la consigna en régimen estático,
haya o no haya perturbaciones.
Sensibilidad de un proceso.
Interesa que la salida de un sistema sea insensible a la variación de sus parámetros para evitar problemas
debidos a la imprecisión de sus componentes, o incluso por falta de linealidad de los mismos. Se define la
sensibilidad como el cociente entre la variación unitaria de la salida entre la variación unitaria del parámetro
respecto del cual deseamos calcular la sensibilidad.
Sensibilidad respecto de la ganancia del proceso en lazo abierto: Suponemos que la ganancia del proceso (Kp)
vale 5 inicialmente y se incrementa hasta 5,5. Consideramos la ganancia del controlador Kc=10. El cálculo que
se desarrolla a continuación indica que la salida se incrementa en la misma proporción que lo haga la ganancia
del proceso (100%), razón por la que es tan impreciso este control).
Sensibilidad respecto de la ganancia del proceso en lazo cerrado: Suponemos que Kp pasa igualmente de 5 a
5,5. El cálculo que se desarrolla a continuación indica una sensibilidad de solo un 0,6%, que es mucho más
interesante.
Sensibilidad respecto de la ganancia del sensor en lazo cerrado: Suponemos que la ganancia del sensor pasa
de 3 a 2,7. El resultado del cálculo que a continuación se desarrolla deja bastante que desear, razón por la que
resulta muy importante adquirir sensores con una ganancia muy estable y se justifica que los sensores son
realmente la clave del éxito de una buena regulación.
Orientaciones para el uso del regulador PID.
Para el control de posición o dirección , velocidad y aceleración, se utilizan las tres acciones, aunque existen
algunas excepciones como el control numérico de máquinas en las que se aplica el regulador P para el control
de la posición de la herramienta y un regulador PI para el control de la velocidad de la misma.
En la regulación del caudal y presión en líquidos es esencial la acción integral pero perjudicial la derivativa
porque amplifica las perturbaciones que producen los sensores de medida de este tipo de variables. Por lo tanto
se recomienda un PI con un tiempo integral elevado. Para la regulación de nivel ocurre lo mismo aunque puede
prescindirse de la acción integral si el error es aceptable.
Es esencial la acción derivativa en la regulación de temperatura porque los retardos son considerables, pero es
innecesaria en la regulación de la presión de un gas para la que basta con un controlador proporcional con una
ganancia grande. La variación de la presión es un proceso muy estable y se elimina prácticamente el error con
una acción P.
Es necesaria la acción integral si el proceso es continuo pero no lo es si el propio proceso dispone de un
elemento integrador (control P o PI). En la regulación de temperatura y presión de vapor es necesaria la acción
integral y la derivativa es esencial si se necesita acelerar la respuesta. En la regulación del pH es esencial la
acción integral y la derivativa es recomendable.
Sintonía de parámetros del regulador PID.
El primer paso para aplicar un controlador consiste en elegir el tipo adecuado (P, PI, PID), para lo cual se
necesita comprender el efecto de las tres acciones y a ser posible tener experiencia sobre el proceso a
controlar. El segundo paso es ajustar los parámetros para que la respuesta del sistema se ajuste a unas
determinadas especificaciones.
El ajuste de parámetros es frecuente en procesos industriales, no solo en los trabajos de puesta en marcha,
sino también cuando se detectan cambios sustanciales del comportamiento del proceso. Las técnicas
experimentales están especialmente orientadas al mundo industrial, donde existen grandes dificultades para
obtener una descripción matemática. Las técnicas de ajuste son:
- Prueba y error. Se necesitan unos criterios básicos y largo tiempo de ensayo.
- Sintonía en lazo abierto. Experimental.
- Sintonía en lazo cerrado. Experimental.
- Sintonía con especificaciones frecuenciales. Experimental.
- Sintonía analítica. Requiere modelo matemático fiable.
La primera de las técnicas ya fué explicada y experimentada en el apartado de la práctica con PID. A
continuación veremos la segunda y tercera técnica, pero no las dos últimas. Las especificaciones de
funcionamiento que se pueden imponer en un proceso están sujetas a diversas limitaciones, por ejemplo con un
controlador proporcional sería incompatible pedir a la vez la máxima precisión y la máxima estabilidad porque la
mejora de una de ellas origina un perjuicio en la otra. Estas son las especificaciones más frecuentes:
- Tiempo de respuesta, que será el máximo aceptado para que se alcance el equilibrio después de un cambio
de la consigna.
- Precisión estática, cuyo significado ya conocemos.
- Banda pasante, que es la gama de frecuencias para las que el sistema debe responder sin una pérdida
excesiva de su ganancia.
- Margen de fase y margen de ganancia, que constituyen una medida de la estabilidad del sistema.
Sintonía de parámetros en lazo abierto.
Esta técnica solo puede aplicarse con procesos autorregulables (la mayoría de los industriales) porque se
necesita alcanzar un equilibrio en lazo abierto para medir las constantes del proceso. El comportamiento de los
procesos autorregulables puede interpretarse como la conexión en cascada de un bloque de retardo puro, con
un tiempo de retardo tau, y un bloque retardador de primer orden con una constante de tiempo T y una
ganancia K.
Los pasos para determinar los parámetros Kp, Ti y Td son los siguientes:
1.- Poner al proceso en lazo abierto, para lo cual será bueno disponer de un sistema que facilite esta operación
y permita la medida de la consigna manual y la señal del sensor.
2.- Ajustar el offset y la ganancia del sensor si no se ha hecho antes para que su banda de variación coincida
con la de consigna. Primero se ajusta el cero mediante el mando de offset y a continuación se fija el límite
superior con el ajuste de ganancia.
3.- Buscamos que la salida se estabilice en un valor cualquiera que llamamos Y1 y anotamos el valor de
consigna que hemos ajustado para conseguirlo y que podemos llamar X1 (los valores X1 e Y1 definen un primer
punto de equilibrio). Buscamos un segundo punto de equilibrio que estará definido por otra pareja de valores
(X2 e Y2). Estas operaciones pueden llevar largo tiempo de espera, dependiendo del tipo de proceso.
4.- Calculamos la ganancia del proceso (K) como se indicó en la figura anterior.
5.- Ajustamos la consigna en el valor X1 que tendremos anotado y esperamos el equilibrio, que lógicamente se
alcanzará cuando la salida llegue al valor Y1.
6.- Ajustamos la consigna en el valor X2 y medimos los tiempos T1 y T2 que corresponden al 28,3% y al 63,2%
de la variación que experimentó la salida y que podemos ver reflejado en la figura anterior.
7.- Calculamos la constante de tiempo del proceso (T) y el tiempo de retardo (tau) de la forma indicada en la
figura anterior.
8.- Con los tres parámetros del proceso ya conocidos (K, T y tau) podremos calcular los parámetros del PID
(Kp, Ti y Td) según el criterio de funcionamiento que nos parezca más adecuado. Estos criterios los vemos a
continuación.
Criterios de funcionamiento para sintonía en lazo abierto.
Criterio de amortiguamiento 1/4: Combina bien una respuesta rápida junto con un cierto grado de estabilidad. El
amortiguamiento de una respuesta es la relación entre dos rebasamientos consecutivos. Reacciona bien frente
a perturbaciones y es muy utilizado. Los parámetros del regulador se calculan como se indica en la figura.
Este método fue ideado en 1942 por John G. Ziegler y Nathaniel B. Nichols, si bien su idea original se basaba
en la determinación de los parámetros a partir de la curva de reacción frente a un escalón unitario aplicado a la
entrada (si la entrada no es unitaria habrá que dividir los valores obtenidos en la salida entre el incremento que
se haya aplicado en la entrada). Se necesita representar muchos puntos de la curva y trazar una recta tangente
a la misma en el punto de inflexión.
Mínima Integral del Error Absoluto (MIAE): La idea se basa en minimizar la suma de errores absolutos (sin tener
en cuenta el signo), es decir, en hacer mínima el área que se ha rayado en la figura siguiente. Se consigue una
relación de amortiguamiento próxima a 1/4.
Mínima Integral del Cuadrado del Error (MISE): Es equivalente al criterio anterior puesto que el cuadrado del
error siempre es positivo pero penaliza los grandes errores. La respuesta será muy rápida pero poco
amortiguada. Se recomienda para una buena respuesta frente a cambios en carga (perturbaciones).
Mínima Integral del Error Absoluto multiplicado por el Tiempo (MITAE): La señal de error multiplicada por el
tiempo es similar al error pero más amplificada a medida que el tiempo avanza (figura siguiente) y por lo tanto
serán penalizados los errores tardíos. La respuesta inicial es lenta pero alcanza pronto el régimen estático. Es
adecuado frente a cambios en consigna pero también se adapta a cambios en carga con un tiempo de
respuesta y estabilización aceptables frente a cambios en consigna.
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