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Análisis de Sensibilidad



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Tema desarrollado por:
Ing. Juan Carlos Figueroa Figueroa
jc_ffsv@yahoo.com
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD 
1. Introducción
El análisis de sensibilidad es una de las partes más importantes en la programación lineal,
sobretodo para la toma de decisiones; pues permite determinar cuando una solución sigue
siendo óptima, dados algunos cambios ya sea en el entorno del problema, en la empresa o en
los datos del problema mismo.
Este análisis consiste en determinar que tan sensible es la respuesta óptima del Método
Simplex, al cambio de algunos datos como las ganancias o costos unitarios (coeficientes de la
función objetivo) o la disponibilidad de los recursos (términos independientes de las
restricciones).
La variación en estos datos del problema se analizará individualmente, es decir, se analiza la
sensibilidad de la solución debido a la modificación de un dato a la vez, asumiendo que todos
los demás permanecen sin alteración alguna. Esto es importante porque estamos hablando de
que la sensibilidad es estática y no dinámica, pues solo contempla el cambio de un dato a la
vez y no el de varios.
Objetivo Principal del Análisis de Sensibilidad
Establecer un intervalo de números reales en el cual el dato que se analiza puede estar
contenido, de tal manera que la solución sigue siendo óptima siempre que el dato
pertenezca a dicho intervalo.
Los análisis más importantes son;
1.
Los coeficientes de la función objetivo; y
2.
Los términos independientes de las restricciones
y se pueden abordar por medio del Método Gráfico o del Método Simplex.
2. Análisis de sensibilidad gráfico
Abordaremos primero el análisis de sensibilidad de manera gráfica.
Partamos del siguiente modelo de programación lineal:
0
y
;
0
x
         
100
10y
20x
       
40
8y
5x
      
2
3x
a
s
y
Z
Máx
cuya solución es la siguiente:
Recordemos que nuestro objetivo es mantener la solución óptima que hemos encontrado
7
2.
y
6
3.
y
x
, esto lo conseguiremos siempre y cuando la recta de isoutilidad (recta roja)
pase por el punto (3.6 , 2.7) y no exista área de región factible por encima de ella.
2.1 Análisis de sensibilidad gráfico para los coeficientes de la función objetivo
A partir del modelo anterior, podemos observar la siguiente figura:
Todas las líneas rojas mantienen
la solución óptima pero las líneas
azules generan una nueva
solución óptima pues existe un
área de la región factible sobre
ellas, lo cual indica que la función
no ha sido optimizada en el punto
que analizamos (3.6,2.7)
Ahora si observamos bien la
gráfica podemos notar que las
líneas rojas, que son las que nos
interesan, siempre están
comprendidas entre las dos
restricciones o desigualdades que definen el vértice óptimo (aquellas que simultaneamos para
encontrar la solución) y las líneas azules están o bien por bajo o bien por encima de alguna de
las dos restricciones.
Notemos que existen infinidad de rectas rojas que pasan por nuestro vértice óptimo y están
comprendidas entre las restricciones. El procedimiento que seguimos para encontrar estas
rectas fue girar la recta solución del problema original con centro en el punto pivote.
Entonces lo único que esta variando en
la recta de isoutilidad es la inclinación de
ésta, y como sabemos la inclinación de
una recta viene dada por su pendiente,
es decir su primera derivada.
Todas las rectas de isoutilidad que
mantienen la solución óptima tendrán la
siguiente ecuación:
)
6
.
3
(x
)
7
.
2
(
m
y
donde estamos forzando que pasen por
el vértice óptimo y permitiéndole que su
pendiente sea variable, lo cual la hace
rotar alrededor del vértice óptimo.
Ahora esta claro que debemos restringir la pendiente de manera que no exceda la inclinación
de las restricciones, es decir que no sea mayor ni menor a las pendientes de las restricciones
que definen la solución.
Las líneas de las restricciones son las siguientes con sus respectivas primeras derivadas y por
consiguiente sus pendientes.
8
5
8
5
5
8
5x
40
5x
40
8y
40
8y
5x
1
m
y
x
y
y
 
 
2
2x
10
10
20x
100
20x
100
10y
100
10
20x
2
m
y
y
y
y
de estas pendientes la menor es
2
y la mayor es
8
5
, por lo que concluimos que las
pendientes de nuestras rectas de isoutilidad deben estar entre estos valores. Así:
8
5
2
m
. Ahora que ya restringimos la pendiente, sabemos que las líneas de isoutilidad
son líneas que se generan dando valores arbitrarios a la función objetivo (Z). Así:
k
k
y
x
donde
;
2
3
, cuando k=16.3 llegamos al óptimo de nuestro problema original.
Ahora bien, nuestro objetivo es determinar cuanto pueden valer los coeficientes de la función
objetivo de manera que la solución óptima no se altere, para ello plantearemos coeficientes
generales de la función, de manera que el nuevo coeficiente de la variable
x
será
x
C
 
y el
nuevo coeficiente de la variable
y
será
y
C
, generando la nueva función objetivo:
y
x
y
x
C
C
k,
k
y
C
x
C
,
donde
;
. Encontremos entonces la pendiente de nuestra función
objetiva.
y
x
y
x
y
y
x
x
y
y
x
C
C
m
y
x
C
C
C
k
y
C
x
C
k
y
x
C
k
y
C
k
y
C
x
C
Entonces podemos concluir que: 
8
5
2
y
x
C
C
Ahora podemos resolver la desigualdad para el coeficiente que nosotros queremos analizar.
Algo importante
a tomar en cuenta es que el análisis se hace un coeficiente a la vez,
asumiendo que el otro permanecerá constante.
Análisis de sensibilidad para
x
C
:
2
y
C
4
4
5
4
5
4
8
5
2
2
8
5
2
2
x
x
x
x
C
C
C
C
Conclusión: El coeficiente de la variable
x
puede estar comprendido entre 1.25 y 4,
manteniendo constante el coeficiente de la
variable
y
, sin que la solución óptima
varíe.
Análisis de sensibilidad para
y
C
:
3
x
C
5
24
2
3
5
8
3
2
1
8
5
3
2
8
5
3
2
y
y
y
y
C
C
C
C
Conclusión: El coeficiente de la variable
y
puede estar comprendido entre 1.5 y 4.8,
manteniendo constante el coeficiente de la
variable
x
, sin que la solución óptima
varíe.
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