2.2 Análisis de sensibilidad gráfico para los términos independientes de las
restricciones.
Ahora abordaremos el caso cuando uno de los términos independientes de las
desigualdades varia, ya sea incrementándose o reduciéndose; asumiendo que los demás
datos del problema siguen constantes.
La lógica a seguir en el análisis de sensibilidad de estos términos es un poco diferente,
ya que cuando se poseen más recursos, es evidente que la solución óptima variara; pero
nuestro objetivo será que el vértice de la solución óptima siga siendo la intersección de
las mismas restricciones, es decir, que las restricciones que le daban solución al
problema original, le den también solución al nuevo problema.
Observemos las siguiente figuras:
Podemos ver que con
las nuevas 20
unidades de recurso
en una de las
restricciones
(
120
10
20x
y
) la
region factible se
expande (zona azul) y
evidentemente la
solución óptima ha
cambiado también;
pero resulta que las
mismas dos
restricciones que
definían la solución
inicial, definen también la nueva solución. Se puede observar como la línea de
isoutilidad se ha desplazado hacia el nuevo vértice óptimo, aumentando su valor.
Si seguimos desplazando la
recta de la restricción
aumentando su término
independiente, llegaremos a un
punto en que esas restricciones
ya no brindan la solución
óptima, por ejemplo:
Ahora que la nueva restricción
es:
170
10
20x
y
la región
factible ya no depende de dicha
restricción y por tanto esta
restricción ha dejado de pertenecer a la solución óptima, lo cual queríamos evitar. Ahora
bien ¿Qué determina hasta donde podemos desplazar la recta? Si nos fijamos bien
mientras desplazábamos la restricción hacia la derecha hubo un instante en el que dejo
de participar en la solución óptima, y es precisamente eso lo que buscamos evitar que
alguna de las restricciones que dieron la respuesta inicial salga de la solución y por tanto
ese punto donde la recta sale de la solución (8,0), es
el que limita el valor de nuestro
término independiente.
Nota: es en el punto (8,0) donde la restricción deja de formar parte de la solución.
Ahora la condición para que la restricción vuelva a ser parte de la respuesta óptima es
que al menos pase por el punto que la limita, es decir, por (8,0), manteniendo constantes
sus coeficientes por supuesto. Así, la nueva recta que pasa por este punto será:
160
10y
20x
:
tenemos
entonces
160
0
*
10
8
*
20
y de aquí podemos observar que el
máximo valor que puede tomar el término independiente de esta restricción es 160.
Ahora la pregunta es ¿Cuál es el mínimo?
Un análisis similar podemos
ejecutar ahora con la misma
restricción, pero en lugar de
aumentar el termino
independiente lo disminuimos.
Observe:
Podemos ver que con las 40
unidades faltantes de recurso,
en una de las restricciones
(
60
10
20x
y
) la región
factible se ha contraído (zona
celeste) y evidentemente la
solución óptima ha cambiado
también; pero resulta que las
mismas dos restricciones que definían la solución inicial, definen también la nueva
solución. Se puede observar como la línea de isoutilidad se ha desplazado hacia el
nuevo vértice óptimo, disminuyendo su valor.
Si seguimos desplazando la recta de la restricción disminuyendo su término
independiente, llegaremos a un punto en que esas restricciones ya no brindan la
solución óptima, por ejemplo:
Ahora que la nueva
restricción es:
40
10
20x
y
la región
factible ya no depende de
dicha restricción y por
tanto esta restricción ha
dejado de pertenecer a la
solución óptima, lo cual
queríamos evitar. Ahora
bien ¿Qué determina hasta
donde podemos desplazar
la recta? Si nos fijamos bien
mientras desplazábamos la
restricción hacia la
izquierda hubo un instante
en el que impidió que la
otra restricción formara
parte de la solución óptima, y es precisamente eso lo que buscamos evitar que alguna de
las restricciones que dieron la respuesta inicial salga de la solución y por tanto ese punto
donde la recta sale de la solución (0,5), es el que limita el valor de nuestro término
independiente.
Nota: es en el punto (0,5) donde la otra restricción deja de formar parte de la solución.
Ahora la condición para que la restricción vuelva a ser parte de la respuesta óptima es
que al menos pase por el punto que la limita, es decir, por (0,5), manteniendo constantes
sus coeficientes por supuesto. Así, la nueva recta que pasa por este punto será:
50
10y
20x
:
tenemos
entonces
50
5
*
10
0
*
20
y de aquí podemos observar que el
mínimo valor que puede tomar el término independiente de esta restricción es 50. Ahora
ya hemos acotado el término, obteniendo el siguiente resultado:
Sea
2
b
el término independiente de la restricción número 2, tenemos:
2
10
20x
b
y
Entonces la respuesta se mantiene óptima, sin alterar ningún otro dato del problema
siempre que:
160
50
2
b
El mismo análisis hay que efectuar para encontrar el intervalo del término
independiente de la restricción 1 (
1
b
).
Probemos la restricción
1
8y
5x
b
;para
60
1
b
;
90
1
b
;
30
1
b
;
20
1
b
60
1
b
90
1
b
La zona azul representa el incremento en la región factible del problema y la línea roja
gruesa representa la nueva línea de isoutilidad óptima.
Recomendación: Antes de avanzar en el documento, intente analizar cuál es el punto
que limita la participación de las restricciones en la solución óptima.
30
1
b
20
1
b
La zona celeste representa la contracción de la región factible del problema y la línea
roja gruesa representa la nueva línea de isoutilidad óptima.
Recomendación: Antes de avanzar en el documento, intente analizar cuál es el punto
que limita la participación de las restricciones en la solución óptima.
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