Reiterando el proceso anterior como se ilustra a continuación, se obtiene para la tercera
derivada, las expresiones:
o
y
y1
y2
y3
y
y
y2
y1
y2
y3
y
y1
y
-
+
-
=
+
-
-
+
-
=
D²
-
D²
=
D³
0
1
0
0
3
3
)
2
(
2
3
1
2
2
2
1
4
3
2
3
2
1
4
3
2
1
y
=
y
-
y
=
y
-
2
y
+
y
-
(
y
-
2
y
+
y
)
=
y
-
3
y
+
3
y
-
y
D
D
D
3
2
2
3
2
2
5
4
3
4
3
2
5
4
3
2
y
=
y
-
y
=
y
-
2
y
+
y
-
(
y
-
2
y
+
y
)
=
y
-
3
y
+
3
y
-
y
D
D
D
Generalizando el comportamiento anterior, se obtiene para la tercera derivada la siguiente
expresión:
3
i
i+3
i+2
i+1
i
y
=
y
-
3
y
+
3
y
-
y
D
Para el cálculo de la cuarta derivada se aplica el método de las diferencias a las
expresiones de la tercera derivada como se muestra a continuación:
4
0
3
1
3
0
4
3
2
1
3
2
1
0
4
3
2
1
0
y
=
y
-
y
=
y
-
3
y
+
3
y
-
y
-
(
y
-
3
y
+
3
y
-
y
)
=
y
-
4
y
+
6
y
-
4
y
+
y
D
D
D
4
1
3
2
3
1
5
4
3
2
4
3
2
1
5
4
3
2
1
y
=
y
-
y
=
y
-
3
y
+
3
y
-
y
-
(
y
-
3
y
+
3
y
-
y
)
=
y
-
4
y
+
6
y
-
4
y
+
y
D
D
D
Finalmente el cálculo de la cuarta derivada puede realizarse de forma general utilizando la
siguiente expresión:
4
i
i+4
i+3
i+2
i+1
i
y
=
y
-
4
y
+6
y
-
4
y
+
y
D
II.1.2 Método de las Diferencias Centrales
Este método permite el cálculo de la derivada de orden r de señales discretas, a partir de la
determinación de las diferencias centrales existentes entre datos consecutivos, la cual
viene dada de forma general mediante:
R
i
k=0
r
k
i+2-k
r
y
=
(-1
)
r!
k!(r
-
k)!
y
d
å
Para el cálculo de la derivada de cualquier orden se sustituye r en la ecuación anterior por
el orden de la derivada de interés, obteniéndose para las derivadas de primer, segundo,
tercer y cuarto orden las siguientes expresiones que corresponden a los valores de r=1;
r=2; r=3 y r=4 respectivamente.
d
i
i+
1
2
i-
1
2
y
=
y
-
y
2
i
i+1
i
i-1
y
=
y
-
2
y
+
y
d
3
i
i+
3
2
i+
1
2
i-
1
2
i-
3
2
y
=
y
-
3
y
+
3
y
+
y
d
