Investigación desarrollada y enviada por: Juan Florencio Antunez
jfantunez@unitec.edu
Introducción.
Una función de distribución de probabilidad importante en teoría de
probabilidades es la distribución gamma, cuya densidad esta determinada por
(1)
valor
otro
cualquier
para
,
0
0
x
,
)
(
1
)
(x
/
1
x
e
x
f
donde
0
1
)
(
dx
e
x
x
. Esta densidad depende de dos parámetros,
y
.
En la mayoría de las aplicaciones, el parámetro
será un entero positivo. Se puede
demostrar que
x
E
y Var
2
x
. Un caso especial de la distribución
gamma se obtiene si hacemos
=2 y
2
n
, en donde n es un entero positivo. La
distribución resultante es la distribución ji-cuadrado, cuya densidad esta definida
por (2)
valor
otro
cualquier
para
,
0
0
x
,
)
2
/
(n
2
1
)
(
2
/
1
2
/
2
/
x
n
n
e
x
x
g
Una variable aleatoria que tiene una distribución dada por (2) se dice que se
distribuye ji-cuadrado con n grados de libertad, y se denota por
2
n
.
En la siguiente figura, se proporcionan graficas de esta distribución para valores de
n = 1, 2 , 3, y 5.
Debido a su importancia la distribución ji-cuadrado esta tabulada para diversos
valores del parámetro n.
La función generadora de momentos de la variable aleatoria gamma se obtiene así:
0
0
1
1
/
1
)
(
1
)
(
1
)
(t
dx
e
x
dx
e
x
e
e
E
M
x
t
x
tx
tx
X
Haciendo
t
u
1
se tiene que
du
dx
t
1
y la integral se transforma en
0
1
t)
1
(
1
)
(
1
du
e
u
u
= (3)
-
t)
1
(
, ya que la ultima integral es igual a
)
(
.
Como consecuencia inmediata, la función generadora de momentos de la v.a. ji-
cuadrado es (3)
)
(t
M
X
2
/
)
2t
1
(
n
.
Este escrito tiene como propósito generar una muestra aleatoria de una
distribución
2
n
. Para esto , utilizare el resultado siguiente:
Teorema
( Meyer,P.L. 1970) Sea X una v.a. con f.d.p. f y f.d.a. F. Se supone que
f(x)=0 si
b
a,
x
. Sea Y la v.a. definida por Y = F(X). Luego Y esta distribuida
uniformemente en
1
,
0
.
Demostración. (Caso continuo). Sea X continua, la f.d.a. F es continua, estrictamente
monótona con una inversa,
1
F
. Es decir, Y= F(X) puede resolverse para X
mediante Y: X =
)
(Y
1
F
. Si F(x) = 0 para todo
a
x
se define
a
F
)
0
(
1
y de
manera análoga si F(x) = 1 para todo
x
b, se define
b
F
)
1
(
1
.
Sea G la función de densidad acumulada de la v.a. Y definida anteriormente.
Luego
y
y))
F
F
Y
F
X
P(
y)
Y
P(
Y
G(
(
(
))
(
)
1
1
.
Por lo tanto la función de densidad de Y es g(y)=
1.
)
(
y
G
dy
d
Método
Este resultado se puede usar con el fin de generar una muestra aleatoria de alguna
distribución especifica. Interesa al autor la f.d.p. de la v.a. ji-cuadrado. Sea X una
v.a. continua con f.d.a. F de la cual se pide una muestra aleatoria. Sea y1 un valor
(entre 0 y 1) como una observación de esa variable aleatoria. Resolviendo y1 = F(x1)
para
1
x
(
lo que es posible si X es continua) obtenemos un valor de una v.a. cuya
f.d.a. es F. Si continuamos este proceso con los valores y2, y3, ..., y
n
que obtenemos
de una tabla de números seudo aleatorios ( o una función random) se tiene
entonces x
i
, i = 1,2,...,n como una solución de la ecuación y
i
= F(x
i
) y por lo tanto,
obtendríamos los valores muestrales buscados.
Ahora, supongamos que vamos a obtener la buscada muestra aleatoria de la
distribución ji-cuadrado con 2k grados de libertad. Procederemos como sigue: se
obtiene una muestra aleatoria de tamaño k ( con la tabla de números seudo
aleatorios o la función random) de una distribución uniforme en
1
,
0
. Sea
k
U
U2
U1
,...,
,
. Se considera la v.a.
k
i
i
u
X1
1
ln
2
. Demostrare que la f.d.p. de la
variable aleatoria
i
u
ln
2
se distribuye ji-cuadrado con n = 2 grados de libertad.
Sea
i
u
X
ln
2
con solución inversa
2
/
x
i
e
u
. El jacobiano de esta transformación
es
2
/
2
1
x
e
J
, luego la solución esta dada por
2
/
2
1
)
(u
x
i
e
g
=
2
/
2
1
x
e
. Resulta
obvio que esta densidad se distribuye ji-cuadrado con 2 grados de libertad.
Por otro lado, si asumimos que cada U
i
es independiente ( lo cual es plausible), se
tiene que la función generadora de momentos de la v.a.
k
i
i
u
X1
1
ln
2
es
(4)
k
k
i
X
t)
t)
t)
M
2
1
(
2
1
(
(
1
1
. Por simple observación esta es la función
generadora de momentos de la v.a. ji-cuadrado con
2
n
k
. Por lo tanto, la v.a. X1
tiene la distribución ji-cuadrado. Luego, si continuamos con este esquema,
obtenemos otra muestra aleatoria de tamaño k de una v.a. distribuida
uniformemente y encontramos el segundo valor muestral
2
x
.
Este procedimiento
necesita k observaciones de una v.a. uniforme para cada observación
2
2k
.
Ejemplo. Obtendremos una muestra aleatoria de tamaño 3 de la distribución
2
8
.
Usando una tabla de números seudo aleatorios tenemos
265
.
0
1
y
,
096
.
0
2
y
,
225
.
0
3
y
,
175
.
0
4
y
. Entonces
)
ln(
2
4
3
2
1
1
y
y
y
y
x
= 13.812.
Los otros valores se obtienen de similar manera, así:
384
.
14
2
x
,
136
.
12
3
x
.
Referencias.
Mendenhal-Scheaffer-Wackerly, Mathematical Statistics with Aplications. Third Edition,
PWS Publishers, 1986.
Hoel, P.G. Introduction to Mathematical Statistics, 4th ed. New York: Wiley, 1971.
Parzen, E. Modern Probability Theory and Its Aplications. New York:Wiley, 1964.
Investigación desarrollada y enviada por: Juan Florencio Antunez, Matematico,
graduado en la Universidad Nacional Autonoma de Honduras, UNAH. Maestria en
Ciencias, con especialidad en Sistemas de Calidad y Productividad, Instituto Tecnologico y
de Estudios Superiores de Monterrey, ITESM. Actualmente es Profesor de Calculo y
Estadistica en la Universidad Tecnologica Centroamericana, UNITEC.
jfantunez@unitec.edu
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