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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias



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Investigación desarrollada y enviada por: Oscar Guerrero Miramontes
1.
Razón de cambio
2.
Ecuaciones diferenciales ordinarias
3.
Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales
4.
Ecuaciones diferenciales de primer orden
5.
Ecuaciones diferenciales homogéneas
6.
Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior 
7.
Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes
8.
Oscilador Armónico simple
9.
Formulario ecuaciones diferencial
10. Bibliografía
Razón de cambio
La medición de razones y proporciones tiene gran aplicación en varias áreas de la ingeniería, es
necesario saber tal magnitud para dar una aproximación a problemas de la vida real. Es posible
realizar calcular
diferencias para cualquier arreglo de datos. En probabilidad y estadística se
obtiene razón de interés compuesto, en física el trabajo que se requiere en determinada
condición de tiempo y espacio, crecimientos poblacionales, circuitos eléctricos, temperatura etc.
Es prudente hacer la observación los eventos anteriores están en función del tiempo “t”  
La representación de estos cambios se denota usando el símbolo de incremento
"
"
por lo
tanto la razón de cambio “x” en el tiempo “t” se puede representa por 
t
x
=
El numero de habitantes se duplica cada 5 anos, encontrar la razón de cambio y represente los
resultados gráficamente (ver imagen 1.1) para ilustración
     ,
La fuerza para mover un objeto es directamente proporcional a su aceleración encontrar la razón
de cambio
ka
f
Las anteriores razones de cambio suponen un incremento o decremento constante, la
representación grafica de tales funciones es una función de la forma y=mx+b 
Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio
infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero “0”
dt
dp
t
p
t
p
0
lim
0
lim
Problemas propuestos 
El numero de habitantes se triplica cada ano, encontrar la razón de cambio y una función que
prediga la población en un tiempo “t”
La temperatura en una habitación disminuye 3 grados centígrados cada 10 minutos, encuentre la
razón de cambio
La masa de un elemento radioactivo decae en el tiempo, encuentre la razón de cambio
Para análisis y comprensión de la grafica siguiente encuentre la razón de cambio
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio
infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero “0”
dt
dp
t
p
t
p
0
lim
0
lim
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales (razones de
cambio infinitesimales), 
C
x2
y
xdx
dy
xdx
dy
x
dx
dy
2
2
2
           Encontramos integrando
C
y
x2
xdx
ydy
xdx
ydy
y
x
dx
dy
2
2
       Encontramos integrando
Las ecuaciones 1 y 2 son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, la
característica de estas funciones es posible despejar la razón de cambio e integrar con facilidad,
otro ejemplo de ecuaciones diferenciales son :
0
2
2
y
dx
y
d
Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, así llamado por el orden de la derivada. El
orden de una ecuación diferencial es el mismo que el de la derivada de mayor orden que en ella
aparece
Ejercicio -  Encuentra el grado “n” de las siguiente ecuaciones diferenciales
x
e
dx
dy
dx2
y
d
y'
y'
4
)
1
(
'2
3
2
)
cos(t
2t
2
2
2
2t
3
3
6
6
2
5
5
w
dy
x
d
e
dy
x
d
dy
x
d
f
e
dt
f
d
t
Soluciones de una ecuación diferencial. Constantes de integración
Una solución o integral de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, que
define a una de ellas como función de la otra, que satisface a la ecuación así.
rx
e
y
Es una solución general de la ecuación diferencial 
0
1
0
0
2
2
2
2
r
r
e
re
e
r
y
dx
dy
dx
y
d
rx
rx
ex
Ejemplo 2
0
0
2
2
asenx
asenx
y
dx
y
d
asenx
y
En el problema anterior “a” es una constante arbitraria de la misma manera se puede representar
como c1 y c2 respectivamente dan una solución mas general al problema a esta constante
arbitraria se la conoce como constante de integración
Ejemplo 3
senx
c2
x
c1
y
y
dx2
y
d
x
b
y
cos
0
cos
2
Del problema anterior hallar una solución cuando y=2 dy/dx=-1 x=0
La solución general de la función es
senx
c2
x
c1
y
cos
para y=2 e dy/dx=-1 cuando x=0
aplicando relación entre variables
senx
c2
x
c1
y
cos
1
2
0
1
0
2
cos
2
1senx
'
2
1
2
1
c
c
c
c
x
c
c
y
Sustituyendo los valores encontrados de c1 y c2 en la solución general encontramos nuestro
resultado
senx
x
y
cos
2
Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresión en
términos de integrales, pueda o no efectuarse la integración
Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales
Antes de emprender el problema de resolver ecuaciones diferenciales, Mostraremos como se
verifica una solución dada. En los tratados sobre ecuaciones diferenciales se demuestra que la
solución general de una ecuación diferencial de orden “n”, tiene “n” constantes arbitrarias
Demostrar que
x
xln
x
xsenxln
c2
x
xcoxln
c1
y
Es una solución de la ecuación diferencial
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