x
x
y
dx
dy
x
dx²
y
d
x2
ln
2
2
x
x
x
c1
c
x
x
sen
c1
c2
dx
y
d
x
x
c1
c2
x
sen
c1
c2
dx
dy
1
ln
cos
)
(
ln
)
(
1
ln
ln
cos
)
(
ln
)
(
2
2
Sustituyendo los valores en la ecuación diferencial original encontramos que la relación de
variables satisface la ecuación
Demostrar que
0
4x
2
y
Es una solución particular de la ecuación diferencial
0
1
'2
xy
y
y'
yy'
2
0
1
Sustituyendo el valor y’ en la ecuación diferencial y reduciendo obtenemos
0
4x
2
y
Problemas propuestos
Verifica las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales
0
2
1
2
2
x
dx
dy
x
dx
y
d
2
2
1
2x
x
c
c
y
0
8
4xy
2
3
y
dx
dy
dx
dy
2
)
(
c
x
c
y
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Una ecuación de primer orden puede reducirse a al forma
0
Ndy
Mdx
Siendo M y N funciones de X e Y
C
Ndy
Mdx
Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden dividirse en 4 grupos
Solución problemas implican Ecuaciones con variables separables.
1.
cambios de masa
2.
cambios temperatura
3.
cambio población en el tiempo
los anteriores ejemplos son posible solución que se puede encontrar por medio de ecuaciones
de variables separables , para tal observación se be encontrar el incremento y la razón de
cambio
k
dx
dy
La observación de los problemas afirma que y es directamente proporcional a x esto se
representa por
x
y
Para encontrar la solución crear un igualdad necesitamos la razón de cambio representada por
“k”
x
e
y
c
x
y
x
dx
y
dy
x
dx
y
dy
x
dx
dy
y
x
y
ln
ln
0
Ecuaciones
diferenciales de
primer orden y
primer grado
Ecuaciones con
variable separable
f(x)dx+f(y)dy=0
Ecuaciones
homogéneas
Mdx+Ndy=0 donde
“M” y “N” funciones
de “x” e “y”
Ecuaciones lineales
de la forma
dy/dx+Py=Q donde
“P” y “Q” en
función de “x”
La solución de este tipo ecuaciones diferenciales se observa en el ejemplo anterior
Una masa “mo” decae a una masa “mf” en un tiempo “t” encontrar la ecuación diferencial que
represente tal afirmación
C
e
m
m
C
t
t
k(
m
m
C
t
t
k(
m
m
dt
k
m
dm
kdt
m
dm
km
dt
dm
o
f
t
t
k(
o
f
o
f
o
f
o
f
o
f
tf
to
mf
mo
)
)
ln
)
ln
ln
kt
o
f
o
f
o
f
t
t
k(
o
f
e
m
m
t
t
m
m
k
C
e
m
m
o
f
)
/(
ln
)
la solución anterior se obtiene con la condición t=0 c=0
Problemas propuestos –
Una masa de 500 Kg. decae a una masa 100 Kg. en un tiempo de 3 min. Encontrar la ecuación
diferencial que represente tal afirmación y la mase cuando el tiempo sea de 2 min.
La temperatura en un cuarto es de 3 grados centígrados al pasar 5 min. la temperatura es de 7
grados centígrados, encontrar la ecuación diferencial represente la razón cambio
El incremento poblacional es 3 veces la población inicial en 2 anos, si la población inicial es de
300 habitantes encontrar la ecuación que defina el crecimiento en el tiempo, el numero de
habitantes cuando el tiempo sea de 10 anos
La presión atmosférica “P” en un lugar, en función de la altura “h” sobre el nivel del mar. Cambia
según la ley del interés compuestos suponiendo que P=1000 gr/cm² cuando h=0 y P= 670 gr/cm²
cuando h=3000 m hallar :
a)- la presión “p” cuando h=2000 m
b)- la presión “p” cuando h=5000 m
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Una ecuación lineal homogénea tiene la forma
Q
Py
dx
dy
donde “P” y “Q” son funciones
De “X”
La solución de estas ecuaciones se obtiene haciendo
uz
y
Z y U son funciones de x que deben determinarse por lo tanto
Q
z
Pu
dx
du
dx
dz
u
Q
Puz
dx
du
z
dx
dz
u
dx
dy
z
dx
dz
u
dx
dy
Determinamos “u” integrando la ecuación
0
Pu
dx
du
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos que
dx
e
k
Q
dz
ke
u
k
Pdx
u
Pdx
Pdx
ln
ln
Integrando y sustituyendo en los valores anteriores obtenemos
)
(
C
dx
Qe
e
y
Pdx
Pdx
Solución problemas implican Ecuaciones diferenciales Homogéneas
1.
Desleimiento continuo de una solución
2.
Cinemática , oposición al movimiento
3.
Circuitos eléctricos simples en serie
Portal para Investigadores y Profesionales
Facebook 
Del.icio.us 
Mister Wong