1
2
'
2
1
C
Ydy
y
El segundo miembro es una función de y. Extrayendo la raíz cuadrada, las variables “x” e “y”
quedan separadas. Y podemos integrar otra vez
Problemas propuestos –
Hallar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales
2
2
2
t
dt
x
d
t
sen2
dt
x
d
4
2
2
x
dt
x
d
2
2
t
e
dt
x
d
2
2
2
0
2
2
2
2
y
a
dx
y
d
Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes
Las ecuaciones tiene la forma
0
"
"
0
2
2
qy
py
y
y
dx
dy
dx
y
d
La solución de estas ecuaciones se obtiene al usar la sustitución
rx
e
y
Por lo tanto derivando la sustitución obtenemos
rx
rx
rx
e
r
dx
y
d
re
dx
dy
e
y
2
2
Sustituyendo en la forma general obtenemos que
0
1
0
2
2
r
r
e
re
e
r
rx
rx
rx
Donde y=
rx
e
es una solución de la ecuación y “r” son las raíces de la función y distintas
rx
rx
e
c2
e
c1
y
Cuando la raíz de la función es imaginaría y toma la forma
bi
a
r
la solución será:
)
cos
(
Bsenbx
bx
A
e
y
ax
Cuando las raíces de la función son iguales r1=r2 la solución del problema será
rx
rx
xe
c2
e
c1
y
Resolver la ecuación con la condición s=4 t=0
0
2
2
2
s
dt
ds
dt
s
d
Usando la sustitución
rt
e
s
y resolviendo para “r”
)
(c
0
)
1
(r
0
1
2r
2
1
2
2
t
c
e
s
r
t
Sustituimos las condiciones iniciales en la solución
)
2t
4
(
2
4
2
1
e
s
c
c
t
Encontrar la solución de la ecuación
0
5
12
10
4
2
2
3
3
4
4
y
dx
dy
dx
y
d
dx
y
d
dx
y
d
Usando la sustitución encontramos
0
5
12r
10r
4r
2
3
4
r
Resolviendo para “r” encontramos
i
r
r
r
2
1
1
1
Por lo tanto la solución general es:
x
sen2
e
c
x
e
c3
xe
c2
e
c1
y
x
x
x
x
2
cos
4
Oscilador Armónico simple
Imagínese una masa “m” en una superficie sin fricción colgando de un resorte la observación
del movimiento nos da la suposición que al aumenta la fuerza “F” de igual manera
aumentara la longitud del resorte “X” lo anterior puede representarse como:
X
F
La fuerza es directamente proporcional a la longitud , para crear un igualdad podemos
calcular la razón de cambio
k
X
F
Sustituyendo en la ecuación inicial obtenemos que
kx
F
Lo anterior de define como la ley de hooke aplicada a un resorte, es pertinente notar que la
ley de hooke solo es valida cuando el objeto puede recuperar su forma original . la razón de
cambio nos indica que la función de fuerza en razón de la distancia F(x) tiene la forma
y=mx+b una línea recta.
De lo anterior podemos definir una ecuación diferencial que resuelva la oscilación de un
resorte
ma
F
y
La segunda ley de newton, la sumatoria de las fuerzas es igual a la masa por aceleración por
lo tanto
0
0
2
x
m
k
dt
x
d
kx
ma
ma
kx
Aplicando la solución de las ecuaciones de segundo orden con coeficiente constantes
encontramos:
0
2
x
m
k
dt
x
d
a
ac
b2
b
2
4
0
2
r
m
k
r
2
2
m
k
m
k
t
m
k
B
t
m
k
A
t)
X
sin
cos
(
2
m
k
m
k
Cuando las condiciones de la formula anterior es t=0 , v=0 y x= Amplitud del resorte “Y”
A
B
A
Y
)
0
sin(
)
0
cos(
B
B
Asin(
)
0
cos(
)
0
0
Siendo A = amplitud del resorte posición alargamiento después de equilibrio y B=0
m
k
A
t)
X
cos
(
Es posible también escribir la solución de un problema de la forma anterior sin tener las
condiciones t=0 v=0 usando un Angulo de fase
m
k
B
t
m
k
Acos
t)
X
sin
(
=
m
k
X
t)
X
sin
(
La amplitud “X” puede definirse como
2
2
B
A
X
El Angulo de fase debe ser en radianes
B
A
tan
Formulario ecuaciones diferencial
Solución
Solución ecuaciones variables separables
c
Mdy
Mdx
o
f
o
f
kt
o
f
y
y
x
x
k
e
y
y
/
ln
Solución ecuaciones homogéneas
Q
Py
dx
dy
donde P y Q en funcione de “X”
)
(
C
dx
Qe
e
y
Pdx
Pdx
Desleimiento continuo de una solución “s”
v
Rt
o
i
o
e
s
s
s
t)
s(
)
(
Corriente “I” en un circuito en serie Resistencia
“R” y transformador “L”
L
Rt
e
R
V
I
1
(
)
Carga “q” en un Circuito en serie acumulador y
resistencia
CR
t
e
VC(
q
1
)
Solución Ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden con coeficientes constantes
Cuando r1 diferente de r2
rx
rx
e
c2
e
c1
y
Cuando
bi
a
r
)
cos
(
Bsenbx
bx
A
e
y
ax
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