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Series de Fourier y Transformada de Laplace



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Investigación desarrollada y enviada por: Iván Escalona
resnick_halliday@yahoo.com.mx, ivan_escalona@hotmail.com
Definición de la serie de Fourier
El  conjunto de funciones
Series de Fourier de cosenos y de senos
Resumen de las constantes de la series de Fourier
Serie de Fourier en forma compleja
Aplicaciones de la Serie de Fourier
¿Qué es la Transformada de Laplace?
Definición de la Transformada de Laplace
Condiciones suficientes para la existencia
Transformada inversa
Teoremas de traslación
La transformada inversa
Aplicación de la tranformada en Circuitos eléctricos
¿Que es la Serie de Fourier?
En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (1768-1830), es una
representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la forma
que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la
solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación
se llama algunas veces Análisis armónico. Muchas tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier han
sido definidas desde entonces.
Definición de la serie de Fourier
Supongamos que {
)}es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos
(x
n
preguntamos: si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar  un conjunto de
coeficientes
n
c
n
,
0, 1, 2,..., para el cual
                                 
?
)
(
)
(x
)
(x
0
0
x
c
c
f
n
n
         
Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos
determinar los coeficientes
n
c
mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación anterior por
)
(x
m
e
integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:
dx
x)
x)
c
dx
x)
x)
c
dx
x)
x)
c
dx
x)
x)
f
m
b
a
n
n
m
b
a
m
b
a
o
b
a
m
(
(
(
(
(
(
(
(
1
1
0
                         
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
1
0
0
m
n
n
m
m
c
c
c
Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n.
En este caso tendremos 
                      
.
)dx
(
)dx
(
)
(x
2
x
c
x
f
b
a
n
n
b
a
n
Entonces los coeficientes que buscamos son
                   
,
2
,
1
,
0
,
)dx
(x
)dx
(
)
(x
n
x
f
c
b
a
n
b
a
n
n
En otras palabras,                
),
(x
)
(x
0
c
f
n
n
n
                                    (1)
En la que                         
2
)
(x
)dx
(
)
(x
x
f
c
n
b
a
n
n
                                      (2)
La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es
                      
).
(
)
(
)
,
(
)
(x
0
2
x
x
f
f
n
n
n
n
                                                 (3)
El  conjunto de funciones 
              
,...
3
,
2
,
,...,
2
cos
,
cos
,
1
x
p
sen
x
p
sen
x
p
sen
x
p
x
p
                      (1)
es  ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p,p] que se puede
desarrollar en la serie trigonométrica
               
).                                     (2)
(a
cos
2
)
(x
1
0
x
p
n
sen
b
x
p
n
a
f
n
n
n
Entonces, los coeficientes
... pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier
,b
,...,b
,
,
2
1
2
1
0
a
a
a
generalizada en la sección anterior.
Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde –p hasta p, se obtiene
              
.
cos
2
)dx
(x
)
(a
1
0
xdx
p
n
sen
b
xdx
p
n
dx
a
f
p
p
n
p
p
p
p
n
n
p
p
            (3)
Como cada función 
)
/
cos(n
p
x
,
),
/
(n
p
x
sen
n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se
reduce a un solo término y, en consecuencia,
              
.                         
2
2
)dx
(x
0
0
0
|
pa
x
a
dx
a
f
p
p
p
p
p
p
Al despejar
0
a
se obtiene
                  
p
p
dx.
x)
f
p
a
(
1
0
                                                                         (4)
Ahora multipliquemos la ecuación (2) por
)
/
cos(m
p
x
e integremos:
).
(a
cos
cos
cos
cos
2
cos
)
(x
1
0
xdx
p
n
xsen
p
m
b
xdx
p
n
x
p
m
xdx
p
m
a
xdx
p
m
f
p
p
n
p
p
n
n
p
p
p
p
  (5)
por la ortogonalidad tenemos que
            
0
,
0
cos
m
xdx
p
m
p
p
            
n
m
n
m
p,
xdx
p
n
xcos
p
m
p
p
,
0
cos
{
     y     
.
0
cos
xdx
p
n
xsen
p
m
p
p
Entonces la ecuación 5 se reduce a
p
a
xdx
p
n
x)
f
n
p
p
cos
(
Y así                                  
xdx                                      (6)
p
n
x)
f
p
a
p
p
n
cos
(
1
Por último si multiplicamos a (2) por
)
/
(m
p
x
sen
, integramos y aplicamos los resultados
              
0
,
0
m
xdx
p
m
sen
p
p
              
0
cos
xdx
p
n
x
p
m
sen
p
p
              
n
m
n,
m
p,
xdx
p
n
xsen
p
m
sen
p
p
,
0
{
llegamos a            
.
)sen
(x
1
xdx
p
n
f
p
b
p
p
n
                                   (7)
La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es
                        
)
(a
cos
2
)
(x
1
0
x
p
n
sen
b
x
p
n
a
f
n
n
n
                      (8)       
                              
p
p
dx
x)
f
p
a
(
1
0
                                             (9)
                             
xdx                                    (10)
p
n
x)
f
p
a
p
p
n
cos
(
1
                             
xdx                                    (11)
p
n
sen
x)
f
p
b
p
p
n
(
1
Series de Fourier de cosenos y de senos
Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y (11) 
se transforman en 
                              
p
p
dx
x)
f
p
a
(
1
0
p
dx
x)
f
p
0
(
2
                              
par
p
p
n
xdx
p
n
x)
f
p
a
cos
(
1
xdx
p
n
x)
f
p
p
0
cos
(
2
                               
0
)sen
(
1
dx
x
p
n
x
f
p
b
impar
p
p
n
.
En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p,p),
        
0
n
a
,      n=0,1,2,...,              
.
)sen
(
2
0
xdx
p
n
x
f
p
b
p
n
                                          
Resumen de las constantes de la series de Fourier
a)
La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos
                             
,
cos
2
)
(x
1
0
x
p
n
a
a
f
n
n
         en que             
p
dx
x)
f
p
a
0
0
(
2
                                
dx
p
n
sen
x)
f
p
a
p
0
0
(
2
     b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie      .         de senos
                              
,
)
(x
1
x
p
n
sen
b
f
n
n
         en donde         
.
)sen
(
2
0
xdx
p
n
x
f
p
b
p
n
Serie de Fourier en forma compleja
1
0
1
0
1
0
1
0
2
2
2
2
2
)
(t
2
2
2
2
2
)
(t
2
2
2
)
(t
2
   sen
&
   
2
cos
cos
2
)
(t
n
n
n
t
n
j
n
n
t
n
j
n
t
n
j
n
t
n
j
n
t
n
j
n
t
n
j
n
n
t
n
j
t
n
j
n
t
n
j
t
n
j
n
t
n
j
t
n
j
o
t
n
j
t
n
j
o
n
o
n
o
n
j
b
a
e
j
b
a
e
a
f
j
e
b
j
e
b
e
a
e
a
a
f
j
e
e
b
e
e
a
a
f
j
e
e
t
n
e
e
t
n
t
n
sen
b
t
n
a
a
f
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
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