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Series de Fourier y Transformada de Laplace


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Ejemplo 3: 
V
t
m
sin
m
t)
Vg(
s
rad
s
T
t
t
t)
Vg(
m
1
1
2
1
2
16
/
;
2
2
1
4
1
0
4
Entonces; tenemos el siguiente procedimiento
)
arctg
t
sin(3
3
16
)
36
36
1
)
3
3
arctg
t
sin(3
3
16
)
9
4
36
1
0
)
3
arctg
t
sin(
16
)
4
36
1
6
2
arctg
)
(
)
4
36
1
:
)
(
2
6
1
)
(t
)
(t
)
(
2
6
1
)
(t
)
(t
)
(
t)
sin(5
5
16
t)
sin(3
3
16
t)
sin(
16
2
2
3
2
2
1
2
5
3
1
f
f
f
n
n
n
g
n
o
n
g
i
i
i
Mòdul
j
V
i
j
H
n
p
V
i
p
H
V
V
V
harmònic
m
harmònic
m
harmònic
m
m
t
m
sin
m
m
t)
i
m
f
º
5
3
º
3
2
º
1
1
3
1
2
arctg
1
2
1
2
4
36
1
1
2
16
(
1
2
2
+
=
Analíticamente tenemos:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
o
n
n
o
n
o
n
n
o
n
o
n
o
n
o
n
o
a
b
a
b
b
a
A
A
b
A
a
t
n
A
t
n
A
a
t)
f
t
n
A
a
t)
f
t
n
b
t
n
a
a
t)
f
arctg
arctg
;
sen
;
cos
)
sen(
)
sen(
)
cos(
)
cos(
)
cos(
sen
sen
cos
cos
2
(
cos
2
(
cos
sen
2
(
2
2
1
1
1
.
,
)
(t
cos
2
)
(t
1
potència
o
corriente
tensión
ser
Por
f
t
n
A
a
f
n
n
o
n
o
¿Qué es la Transformada de Laplace?
En matemáticas y, en particular, en análisis funcional, la Transformada de Laplace de una función f(t) definida
para todos los números reales t
= 0 es la función F(s), definida por:
Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de
las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división.
Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular
mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo
en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.
La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la
transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
La transformada de Laplace F(s) tipicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante
que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Definición de la Transformada de Laplace
Definición básica. Si f(t) está definida cuando
0
t
, la integral impropia
0
)dt
(t
)
,
(s
f
t
K
se define como un
límite:
               
b
b
dt
t)
f
t)
s,
K
dt
t)
f
t)
s,
K
0
0
(
(
lim
(
(
Si existe un límite se dice que la integral existe o que es convergente, si no existe el límite, la integral no existe y se
dice que es divergente. En general el límite anterior existe sólo para ciertos valores de la variable s. La situación
st
e
t)
s,
K(
proporciona una transformación lineal muy importante:
            Sea f una función definida para
0
t
. Entonces la integral
                                  
dt
t)
f
e
t)}
f
o
st
(
(
{
L
  se llama transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja.
     Evaluar L{1}.
Solución                   
dt
e
dt
e
b
st
b
o
st
0
lim
)
1
(
}
1
{
L
                                        
s
s
e
s
e
sb
b
b
st
b
1
1
lim
lim
0
|
L
). es una transformada lineal, para una suma de
(s
)
(s
)}
(t
{g
)}
(t
{
)}
(t
)}
(t
{
G
F
f
g
f
L
L
L
funciones se puede escribir
               
dt
t)
g(
e
dt
t)
f
e
dt
t)]
g(
t)
f
e
st
st
st
(
(
[
0
0
0
siempre que las dos integrales converjan; por consiguiente,
               
).
(s
)
(s
)}
(t
{g
)}
(t
{
)}
(t
)}
(t
{
G
F
f
g
f
L
L
L
Se dice que L es una transformada lineal debido a la propiedad señalada en la función anterior
Condiciones suficientes para la existencia
Si f (t) es continua por tramos en el intervalo [
)
,
0
y de orden exponencial c para t>T, entonces  L {f(t)} existe
para s>c.
Demostración  
.
)dt
(t
)dt
(t
)}
(t
{
2
1
0
I
I
f
e
f
e
f
t
st
t
st
L
            
La integral
1
I
existe, porque se puede expresar como una suma de integrales sobre intervalos en que
)
(t
f
e
st
es
continua. Ahora 
            
dt
e
e
M
dt
t)
f
e
I2
ct
T
st
T
st
(
                
c
s
e
M
c
s
e
M
dt
e
M
t
c)
s
T
t
c)
s
T
t
c)
s
(
(
(
cuando s>c. Como
dt
Me
T
t
c)
s
(
converge, la integral
dt
t)
f
e
T
st
(
converge, de acuerdo con la prueba de
comparación  para integrales impropias. Esto a su vez, implica que
2
I
existe para s>c. La existencia de 
1
I
e
2
I
implica que
dt
t)
f
e
t)}
f
st
(
(
{
0
L
existe cuando s>c.
Transformadas de algunas funciones básicas
a)   
s
1
}
1
{
L
                                  b)    
,...
3
,
2
,
1
,.n
!
}
{t
1
s
n
n
n
L
c)  
a
s
e
at
1
}
{
L
                            d)   
2
2
}
{senkt
k
s
k
L
e)   
2
2
}
{cos
k
s
s
kt
L
                    f)    
2
2
}
{senhkt
k
s
k
L
g)   
2
2
}
{cosh
k
s
s
kt
L
Transformada inversa
Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:
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