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Series de Fourier y Transformada de Laplace


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(S
{F
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-1
L
Algunas transformadas inversas
a)    1
s
1
1
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L
                                  b)    
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                            d)   
2
2
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1
-
L
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2
2
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k
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s
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1
-
L
                    f)    
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1
-
L
g)   
2
2
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k
s
s
kt
1
-
L
-1
L
es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación
lineal; esto es, si
y
son constantes,
                    
)},
(s
{G
)}
(s
{F
)}
(s
)
(s
{
G
F
-1
-1
-1
L
L
L
en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.
La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que
)}
(t
{
)}
(t
{
2
2
f
f
L
L
y, sin embargo,
2
1
f
f
. 
Comportamiento de F(s) cuando
s
Si f(t) es continua por tramos en [
)
,
0
y de orden exponencial para t>T, entonces
0.
{f(t)}
s
lim
L
Demostración   Dado que f(t) es continua parte por parte en
T
t
0
, necesariamente es acotada en el intervalo; o
sea
t
e
M
M
t)
f
0
1
1
(
. También
t
e
M
t)
f
2
(
cuando t>T. Si M representa el máximo de
,M
{M
2
1
y c indica el máximo de
,
0
{
, entonces
          
c
s
M
c
s
e
M
dt
e
e
M
dt
t)
f
e
t)}
f
t
c)
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st
st
0
(
0
(
0
(
{
L
para s>c. Cuando
s
, se tiene que
0
)}
(t
{
f
L
, de modo que
0
)}
(t
{
f
L
.
Teoremas de traslación
Primer teorema de traslación 
Si F(s)=L{f(t)} y a es cualquier número real,
                                    
).
(s
)}
(t
{e
a
F
f
at
L
Demostración  La demostración es inmediata 
             
).
(s
)dt
(t
)dt
(t
)}
(t
{e
0
)t
(s
0
a
F
f
e
f
e
e
f
a
at
st
at
L
Segundo teorema de traslación 
          Si
)
(t
{
)
(s
f
F
L
y a>0, entonces
                       
).
(s
)}
(t
)U
(t
{
F
e
a
a
f
as
L
Demostración  Expresamos a
. como la suma de dos integrales:
)}dt
(t
)U
(t
0
a
a
f
e
st
  
dt
a)
t
a)
t
f
st
e
dt
a)
t
a)
t
f
e
a)}
t
a)U
t
f
a
t
cuando
uno
a
a
t
cuando
cero
a
st
(
(
(
(
(
(
{
0
0
U
U
L
                                   
dt
a)
t
f
e
a
st
(
0
.
Ahora igualamos v=t-a,dv=dt y entonces
                
dv
v)
f
e
a)}
t
a)U
t
f
a)
v
s(
(
(
(
{
0
L
                                                
)
(t
{
)dv
(v
0
f
e
f
sv
e
e
as
as
L
Derivadas de transformadas
Si
)
(t
{
)
(s
f
F
L
y n=1,2,3,..., entonces
                                   
)
(s
)
1
(
)}
(t
{t
F
ds
d
f
n
n
n
n
L
Transformada de una derivada
Si  f(t), f’(t),...,
)
(t
)
1
(n
f
son continuas en
)
,
0
[
, son de orden exponencial, y si
)
(t
)
(n
f
es continua
parte por parte
)
,
0
[
, entonces
                 
),
0
(
)
0
(
'
)
0
(
)
(s
)}
(t
{
)
1
(n
2
1
)
(n
n
n
n
f
f
s
f
s
F
s
f
L
en donde
)}
(t
{
)
(s
f
F
L
Teorema de la convolución 
Si f(t) y g(t)son continuas por tramos en
)
,
0
[
y de orden exponencial,
               
)
(s
)G
(s
)}
(t
{g
)}L
(t
{
}
{
F
f
g
f
L
L
Demostración       Sean  
d
f
st
e
t)}
f
s)
F
)
(
(
{
(
0
L
        Y                             
d
g(
s
e
t)}
g(
s)
G(
)
{
0
L
.
Al proceder formalmente obtenemos
            
d
g(
e
d
f
e
s)
G(
s)
F
s
st
)
)
(
(
0
0
                             
d
d
g
f
e
s(
)
(
)
(
0
0
)
                             
d
g(
e
d
f
s(
)
)
(
0
0
)
Mantenemos fija
y escribimos
d
dt
t
,
, de modo que
                         
.
)dt
(t
)d
(
)
(s
)G
(s
0
g
e
f
F
st
Transformada de una función periódica 
Si  f(t) es continua por tramos en
)
,
0
[
, de orden exponencial y periódica con periodo T,
                             
.
)dt
(t
1
1
)}
(t
{
0
f
e
e
f
T
st
sT
L
                               (a)
Demostración     Expresamos la transformada de Laplace como dos integrales:
                           
.                      (b)
)dt
(t
)dt
(t
)}
(t
{
0
f
e
f
e
f
T
st
T
st
L
Escribiendo t=u+T,  la última de las integrales de (a) se transforma en
          
)}
(t
{
)du
(u
)du
(u
)dt
(t
0
0
)
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f
e
f
e
e
T
f
e
f
e
sT
su
st
T
s
T
st
L
Por consiguiente, la ecuación (b) es
)}.
(t
{
)dt
(t
)}
(t
{
0
f
e
f
e
f
sT
T
st
L
L
Al despejar
)
(t
{
f
L
se llega al resultado de la ecuación (a).
La transformada inversa
EJEMPLO 1:
)
(t
4
6
4
4
1
6
)
(t
4
3
6
2
1
10
2
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9
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B
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A
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s
s
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s
EJEMPLO 2:
2
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1
1
1
1
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1
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1
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t
EJEMPLO 3:
4
1
4
2
1
4
2
4
2
4
2
4
2
1
4
1
4
2
4
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4
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1
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C
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