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Investigación desarrollada y enviada por: Eleazar José García
eleagarcia95@hotmail.com
1.41.  Plano cartesiano
El plano cartesiano o sistema de coordenadas cartesianas está determinado por dos
rectas reales, una horizontal y otra vertical, llamadas ejes de coordenadas y se cortan entre
sí formando cuatro ángulos de 90º cada uno.
El eje horizontal recibe el nombre de eje x o eje de las
abscisas y el eje vertical
recibe el nombre de eje y o eje de las ordenadas
El punto donde se cortan ambos ejes recibe el nombre de origen  y le corresponde el
par ordenado
 
Para un punto
, x e y se llaman las coordenadas del punto P
La ubicación de un punto cualquiera del plano se determina midiendo su distancia
respecto de los ejes x e y. Por ejemplo el primer número del par ordenado
determina
el desplazamiento horizontal respecto del origen: positivo para los puntos ubicados a la
derecha del origen y negativo para los puntos ubicados a la izquierda; el segundo número
del par ordenado determina el desplazamiento vertical respecto del origen: positivo para
puntos ubicados por encima del origen y negativos para puntos ubicados por debajo.
Plano cartesiano
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Figura 1.1
En nuestro quehacer matemático, nos encontramos con fenómenos que relacionan
dos variables, como es el caso del área de un círculo que puede ser calculado mediante la
ecuación
que relaciona el área con el radio. En el caso descrito el área A depende
2ArxX.yY()fxYÎ.xXA?,B?:fAB().yfx2,4,2,4,3,9,4,16,5,25,f1,3,2,6,3,9,4,12,3,15,g3,93,15.2;xy?
de la medida del radio r, y decimos entonces que A es una variable dependiente y r es una
variable independiente. 
En nuestro quehacer matemático, nos encontramos con fenómenos que relacionan
dos variables, como es el caso del área de un círculo que puede ser calculado mediante la
ecuación
que relaciona el área con el radio. En el caso descrito el área A depende
de la medida del radio r, y decimos entonces que A es una variable dependiente y r es una
variable independiente. 
Las relaciones que nos interesan estudiar en éste módulo son las denominadas
funciones.
1.42.  Función.
Una función f de un conjunto X en otro conjunto Y es una correspondencia que
asocia a cada elemento
un único elemento
 
La imagen de x mediante f es denotada  yf (x). El dominio de f es el conjunto X y
el rango es el conjunto de todas las imágenes
de los elementos
 
Al elemento “x” se le llama variable independiente y al elemento “y” variable
dependiente.
Nosotros consideraremos funciones cuyo dominio y  rango son conjuntos de
números reales, las cuales reciben el nombre de funciones reales de una variable real. 
1.43.  Función real de una variable real.
Una función real de una variable real, es una función de un conjunto
en otro
conjunto
lo que se escribe
definida por
A la variable
independiente “x” se le llama también abscisa, y a la variable dependiente “y”  ordenada.
Una función  real de una variable real se puede considerar como un conjunto f de
pares ordenados (x; y) de números reales, en el que no pueden existir dos pares distintos
con igual abscisa.
Ejemplos 1.27.
1) 
este conjunto es una función, puesto
que, no existen pares distintos con igual abscisa.
2) 
este conjunto no es una función, porque,
existen dos pares con igual abscisa:
y
1.44.  Gráfica de una función.
La gráfica de una función f, es la representación en el plano cartesiano de todos los
puntos
para los cuales (x; y) es un par ordenado de f.
1.45.  Dominio, rango y gráfica de algunas funciones.
A?.B?:,fABxA.yfx?yfx.xA(),fxaxb.ab??/;,/;DomfxxRgofxx??341;fxx341xfx
Sean
y
El dominio de una función
esta formado por los
valores que pueda tomar la variable independiente
, de manera tal que
 
El rango es el conjunto formado por todas las imágenes
de
Geométricamente, el dominio de una función es la proyección de su gráfica sobre el eje x o
eje de las abscisas y el rango es la proyección sobre el eje y o eje de las ordenadas. 
A continuación se presentan algunas funciones elementales y otras no tan
elementales con sus respectivos dominios y rangos, y un ejemplo específico con su gráfica
para  comprobarlos. Todos los ejemplos son relacionados con la función que se esté
presentando; se recomiendo tratar de entender las gráficas de todas las funciones porque la
compresión de los dominios  mediante ese recurso facilitará la determinación de los
dominios de funciones compuestas complejas. Trate de memorizar los dominios y los
rangos de las funciones presentadas a continuación.
1) 
 
Ejemplo 1.28.  Consideremos la función
su gráfica es mostrada en la figura
1.2;  podemos verificar que el dominio es el señalado por definición.
Figura 1.2
-3
-2
-1
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
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