1.49. Función Compuesta.
Sean f y g dos funciones tales que el rango de g está en el dominio de f. Entonces, la
función dada por
se llama función compuesta de f con g.
Figura 1.24
?
?
?
?
?
Observación: el dominio de la función
está formado por todo el dominio de g, o por
un subconjunto de éste, en el que
Con respecto al rango de
no se
puede inferir algo relacionado con el rango de f, pero es posible que ocurra alguna de las
siguientes relaciones:
ó
Ejemplo 1.50.
Dadas las funciones
y
hallar
y
.
Solución:
Como
, tenemos que:
Figura 1.25
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Veamos que:
y
y como
resulta,
Nótese que
Esto es, la composición de funciones no es conmutativa.
Ejemplos 1.51.
1) Sea la función
definida por
El dominio de f es el conjunto
y el rango es el conjunto
La gráfica de ésta función es mostrada en la figura 1.26.
Se han trazado tres rectas, y todas cortan la gráfica en un sólo punto, y esto sucede
únicamente cuando la curva es representativa de una función.
Es de observar que a cada número del dominio de f le corresponde solamente un
número del rango, esto es cumpliendo la definición de función.
Además, de la gráfica se puede observar que a cada elemento del rango de la
función le corresponden más de un elemento del dominio; éste es el caso de las funciones
sobreyectivas, concepto que estudiaremos más adelante.
Entonces, se puede afirmar que la función
definida por
es
una función sobreyectiva.
Figura 1.26
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
x
y
La función f es el conjunto de pares ordenados (x; y) para los cuales
es decir,
Algunos de los pares ordenados de f son:
2) Sea la función
definida por
Para que la función g tenga imagen real, se debe verificar:
Por lo
tanto, el dominio de g es el conjunto
y el rango el conjunto
La gráfica de g
se muestra en la figura 1.26. También, se han trazado tres rectas verticales y como podemos
ver cada una interfecta a la curva solamente en un punto.
Figura 1.27
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-1
1
2
3
x
y
Mister Wong
Portal para Investigadores y Profesionales
