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Teoría de Conjuntos



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Investigación desarrollada y enviada por: Eleazar José García
eleagarcia95@hotmail.com
Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos y
está destinado a exponer temas básicos, que se utilizarán en desarrollos posteriores y que
serán fundamentales para comprender lo expuesto en ellos.  Estudiaremos las operaciones:
inclusión, intersección, diferencia de conjuntos, etc., en conjuntos dados y luego
extenderemos esos conceptos al conjunto de los números reales donde algunas de las
operaciones son una herramienta imprescindible para calcular el dominio de funciones
reales de una variable real. Seguidamente, abordaremos el estudio de funciones definidas en
cualquier conjunto para luego definir lo que se conoce como función real de una variable
real, determinaremos el dominio de funciones sencillas y de funciones compuestas.
1.1. Conjunto: La noción de conjunto es  acepta como sinónimo de las nociones usual de
colección, agrupación de objetos, etc. Los objetos de un conjunto se llaman: miembros o
elementos, sin embargo, de éstos dos términos el más usado es elemento”.
Cuando nos referimos a los objetos que componen un conjunto A, entonces usamos
la palabra elementos del conjunto A.
1.2.  Pertenencia: Lo necesario para dar un conjunto es conocer sus elementos. Estas dos
palabras: conjunto y elemento, están relacionadas por la pertenencia o no de un
determinado objeto a un determinado conjunto.
Las palabras conjunto y elemento son precisadas por las siguientes reglas:
a)  Un conjunto X está bien definido cuando se dispone de un criterio para afirmar  
que cualquier objeto a, pertenece al conjunto X o si no pertenece al conjunto X. Si el objeto
a pertenece al conjunto X se usa el símbolo de pertenencia “
” escribiendo a
X, el cual se
lee a pertenece a X o a es un elemento de X. Si el objeto a no pertenece al conjunto X
se usa el símbolo de no pertenencia “
”, así escribimos a
X, el cual se lee a no pertenece
a X o a no es elemento de X.
b)  Un objeto no puede ser a la vez un conjunto y un elemento de ese conjunto, es
decir, no es aceptado que pueda suceder a
a.
1.3.  Formas de expresar los
conjuntos: Los conjuntos pueden ser expresados de las
siguientes formas:
1.3.1.   Por extensión: Cuando se nombran todos y cada uno de sus elementos.
Ejemplos 1.1.
 
4,2,0,,2,4,6,,,,.DEVenezuelaColombiaEcuadorBoliviaPerúLas vocales/05/35/46esmúltiplo2PaiseslibertadosporSimónBolívar.ABxxCxxDxxxE??ZExpreselos siguientes conjuntos por comprensin:5,1,2,4,3,0,4,1,3,21,0,1,2,3,4,5,6,7,82,4,6,8,10,123,6,9,12,15,18,214,8,12,16,20,24,28Exprese los siguientes conjuntos porextensin:óABCDEóFx7252/83/12/espar920/esmúltiplode3631/18xGxxHxxxIxxxJxx?ZZ,ABABxAxB
1.3.2.   Por comprensión: Cuando se indica una propiedad que caracteriza  a sus elementos.  
Ejemplos 1.2.
 
Como podemos observar en los ejemplos 1.1, se nombran los todos elementos de cada
conjunto, mientras que en los ejemplos 1.2 se indicó la característica común a los elementos de
cada conjunto. 
1.4. Ejercicios propuestos A.
 
Los conjuntos pueden ser vinculados entre sí mediante relaciones, las cuales pueden
generar otros conjuntos. Consideramos en primer lugar una relación entre conjuntos llamada
inclusión.
1.5.  Inclusión de un conjunto en otro: Sean A y B dos conjuntos. El conjunto A está incluido en
el conjunto si se verifica que cada elemento de A pertenece a B. Esto se indica de la manera
siguiente
que se lee A es un subconjunto de B.
.AB,,AA,.AAA.AB3,6,8,19C3,6,8,10,D19,D.CDAB?/ABxxAxB?0,1,2,3,4,5,6,7,8.AB?AB?
A
B
A
B
Ejemplo 1.3.
Si A = {0, 3, 4, 1}   y   B = {0,1, 2, 3, 4}, como cada elemento del conjunto A es elemento
de B, entonces
Como todos los elementos de A pertenecen a B, se dice, que A esta
estrictamente incluido en B
El conjunto vacío, denotado por
(conjunto que carece de elementos) es subconjunto de
cualquier conjunto, es decir,
y todo conjunto A
es subconjunto de sí mismo, esto es,
Si un conjunto A no es un subconjunto de otro B, se indica de la manera siguiente:
Por ejemplo,
no es un subconjunto de
puesto que,
lo
que se expresa así:
Otras relaciones entre conjuntos son las denominadas unión e intersección de conjuntos,
las cuales conoceremos a continuación.
1.6.  Unión de conjuntos: Sean A y B dos conjuntos. La unión de A y B es el conjunto formado
por los elementos de A o de B o de ambos conjuntos. Se le designa
, que se lee A unión B.
A
B
A
B
Ejemplo 1.4.
Si A = {0,1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, entonces,
Es de
notar que los elementos de
pertenecen al conjunto A o pertenecen al conjunto B o a ambos
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