si los conjuntos A y B no son disjuntos¹. Si los conjuntos A y B son disjuntos, entonces los
elementos de
pertenecen al conjunto A o al B, pero no a ambos, como es el caso de la
unión de los conjuntos
y
donde, evidentemente, cada
elemento de
pertenece al conjunto C o al D.
1.7. Intersección de conjuntos: Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A y B es el
conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos. Se le designa
, que se lee
A intersección B.
A
B
A
B
Ejemplo 1.5.
Si A = {0, 1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, entonces
. Como podemos
evidenciar los elementos de
, pertenecen a ambos conjuntos.
La intersección de dos conjuntos disjuntos es el conjunto
como es el caso de los
conjuntos
y
para los cuales
1.8. Diferencia o complemento: Sean A y B dos conjuntos tales que
La diferencia de A
menos B (o complemento de B en A) es el conjunto formado por los elementos de A que no
pertenecen a B.
B
A
C
A
B
Ejemplo 1.6.
1
Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos comunes, es decir,
Si
y
entonces:
Como podemos
observar los elementos del conjunto
son los elementos de A que no son elementos de B.
El complemento de
en cualquier conjunto A es A, es decir,
Además,
1.9. Diferencia simétrica: Sean A y B dos conjuntos tales que
La diferencia
simétrica de A y B es el conjunto formado por los elementos de
A
B
A
B
Ejemplo 1.7.
1.10. Ejercicios propuestos B.
Hallar la unión, la intersección y el complemento del primer conjunto en el segundo:
y
y
y
y
1.11. Cota superior de un conjunto: k es una cota superior de un conjunto C de números reales,
si y sólo si, k es un número que no es superado por ningún elemento del conjunto.
k es cota superior de C
k
Si k es cota superior del conjunto C, entonces, cualquier número real mayor que k
es cota superior de C.
El conjunto de los números reales negativos²
está acotado superiormente, ya que,
cualquier número no negativo³ es una cota superior de dicho conjunto. Es de citar que si un
conjunto tiene una cota superior, tiene infinitas cotas superiores. En éste ejemplo, el número 0 es
una cota superior, puesto que, cualquier número negativo es menor que 0, además, cualquier
número mayor que 0 es una cota superior para
.
El conjunto de los números reales no está acotado superiormente, pues, para cualquier
número real k, siempre existe otro número real x > k.
1.12. Extremo superior o supremo:
s es un extremo superior de un conjunto C de números
reales, si y sólo si:
1)
s es una cota superior de C, y
2)
Si k es una cota superior de C, entonces s
=
k.
“Un extremo superior o supremo de un conjunto C de números reales es la menor de
las cotas superiores”.
Para el conjunto
, 0 es el extremo superior, ya que, el 0 es la menor cota superior de
dicho conjunto.
El extremo superior de un conjunto acotado superiormente puede pertenecer o no al
conjunto.
En el caso del conjunto
, formado por los números reales negativos, el extremo
superior 0 no pertenece al conjunto.
Ahora, si consideramos el conjunto de los números reales no positivos
4
, el extremo
superior también es 0, pero, en éste caso el 0 pertenece al conjunto.
Si consideramos los conjuntos siguientes:
Ambos conjuntos están acotados superiormente y el extremo superior para ambos es el
número 5, pero
y en cambio,
1.13. Cota inferior de un conjunto: h es cota inferior de un conjunto C de números reales si y
sólo si es un número real que no supera a ningún elemento de C.
h es cota inferior de C
h
Si h es cota inferior del conjunto C, entonces, cualquier número real menor que h es cota
inferior de C.
2
El conjunto de los números reales negativos es el formado por los números reales menores que cero.
3
El conjunto de los números reales no negativos es el formado por el cero y los números reales mayores que cero.
4
El conjunto de los números reales no positivos es el conjunto formado por el cero y los números reales menores que
cero.
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