El conjunto de los números reales positivos
, está acotado inferiormente, pues 0 y
todos los números reales menores que 0 son cotas inferiores de
.
1.14. Extremo inferior o ínfimo: r es un extremo inferior de un conjunto C de números reales
si y sólo si:
1)
r es una cota inferior de C, y
Si h es una inferior de C, entonces h
=
r.
“Un extremo inferior de un C de números reales es la mayor de las cotas inferiores”.
Un extremo inferior puede pertenecer o no al conjunto. El extremo inferior del conjunto
es 0,
pues el 0 es la mayor de las cotas inferiores de
.
Consideremos los conjuntos:
El conjunto A está acotado inferiormente pues 0 y todos los números reales menores que 0
son cotas inferiores de A. El número 0 es el extremo inferior de A;
el conjunto B también está
acotado inferiormente y tiene como extremo al número 0.
1.15. Conjunto mayorante: El conjunto mayorante de un conjunto A, es el conjunto formado por
todas las cotas superiores de A.
1.16. Conjunto minorante: El conjunto minorante de un conjunto A, es el conjunto formado por
todas las cotas inferiores de A.
“Un conjunto está acotado si y sólo si admite cota superior y cota inferior”.
Ejemplos 1.8.
1) Consideremos el conjunto
Algunas de las cotas inferiores de A son: 0, -1,
etc., el ínfimo de A es el número
0. Algunas de las cotas superiores de A son: 5, 10,
etc. El supremo de A es el número 5.
Ahora, como A admite cotas inferiores y cotas superiores, entonces
es un conjunto
acotado.
Además, el conjunto mayorante de A es el conjunto
y, El conjunto
minorante de A es el conjunto
.
2) El conjunto
es no acotado. No admite cotas inferiores ni superiores.
3) Los conjuntos
y
son no acotados, pues el conjunto
no admite cotas
inferiores y el conjunto
no admite cotas superiores.
En Geometría Analítica se establece una correspondencia entre los puntos de una recta y
los números reales, esto es, a cada punto de la recta le corresponde un único número real y a cada
número real le corresponde un punto único en la recta. Esta correspondencia entre los puntos de
una recta y los números reales facilita la interpretación de muchas demostraciones y es un gran
auxiliar para su interpretación.
Gráficamente, para representar una recta se indica un punto origen que corresponde al 0 y
otro punto a su derecha para representar al 1, con lo cual queda establecida una escala. La
relación de orden definida en
se interpreta geométricamente considerando que si b>a el punto
b está a la derecha del punto a.
Por la correspondencia entre los números reales y la recta, ésta recibe el nombre de recta
real. Seguidamente se muestra dicha recta.
Recta real
En la recta real se verifica que
, puesto que 0 está a la derecha de
A continuación consideramos otras definiciones útiles, relacionadas con los intervalos los
cuales son subconjuntos de la recta real.
1.17. Intervalos.
Sea, a < b,
1.17.1. El intervalo cerrado [a; b], es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los
comprendidos entre ambos.
La longitud del intervalo [a; b] es el número positivo b – a.
1.17.2. El intervalo abierto (a; b), es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b.
La longitud del intervalo (a; b) es también el número positivo b – a.
1.17.3. El intervalo semiabierto a la izquierda o semicerrado a la derecha (a; b], es el conjunto
de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b.
1.17.4. El intervalo semicerrado a la izquierda o semiabierto a la derecha [a; b), es el conjunto
de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b.
Las definiciones anteriores se pueden generalizar considerando la semirrecta y la recta
como intervalos no acotados, lo que se expresa utilizando los símbolos +
8 y
-
8. Estos símbolos
deben ser considerados con especial atención, recordando que se usan solamente por
conveniencia de notación y nunca como números reales.
1.17.5. El intervalo [a; +
8), es el conjunto de números reales formado por
a y los números
mayores que a.
1.17.6. El intervalo (b; +
8), es el conjunto d
e números reales mayores que b.
1.17.7. El intervalo (-
8;
c], es el conjunto de números reales formado por c y todos los números
menores que c.
1.17.8. El intervalo (-
8;
d), es el conjunto de números reales menores que d.
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