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Teoría de Conjuntos



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ahaah??/xxaahxahahaah???;aha;aah/;;xxxahaaah???
La unión y la intersección de conjuntos son operaciones que pueden realizarse dados dos
o más intervalos; las operaciones antes mencionadas son de gran utilidad en la determinación del
dominio de funciones reales de una variable real.
1.18.  Entorno.
Si a es un punto cualquiera de la recta real y h un número positivo, un entorno de centro a
y radio h es el intervalo abierto (ah; a + h). Se le designa E(a, h).
E(a, h) = {x / ah < x < a + h}
ó
E(a, h) = {x / | x a | < h}
1.19.  Entorno reducido.
Si a es un punto cualquiera de la recta real y h > 0, el entorno reducido de centro a y radio
h es el conjunto de puntos del intervalo abierto (a – h; a + h) del cual se excluye el punto a. Se le
designa E’(a, h).
E’(a, h) =
ó
E’(a, h) = {x / 0 < | x – a | < h}
Un entorno reducido es la unión de los intervalos
y
, por lo tanto,
podemos considerar E’ =
1.20.  Punto de Acumulación.
Si C es un conjunto de puntos de la recta real, un punto a es punto de acumulación de C si
a todo entorno reducido de a pertenece por lo menos un punto de C. El punto a puede pertenecer
o no al conjunto C, pero la definición exige que en cualquier entorno del punto exista por lo
menos un punto de C distinto de a.
Ejemplos 1.9.
1)
Si  el conjunto C es un intervalo cerrado, todos sus puntos son de acumulación.
2)
Si  el conjunto C es un intervalo abierto, todos sus puntos son de acumulación y también
los extremos son puntos de acumulación aunque no pertenecen al conjunto.
      3)
El conjunto
de los números naturales no tiene puntos de acumulación. Si a es cualquier
número natural, basta considerar  un  entorno  reducido de centro a y radio h < 1 y a ese entorno
reducido no pertenece ningún número natural.
?/5Axxx?55510;55;510?51055;51035/6Bxxx?35;6/Cxxx?;/||3Axxx?/||5Bxxx?/||4Cxxx?/|2|10Dxxx?/(1;37)Exxxx?/(0;68)Fxxxx?
1.21.  Conjunto Derivado.
El conjunto formado por todos los puntos de acumulación de un conjunto C es el conjunto
derivado de C y se designa C’.
De acuerdo a los ejemplos anteriores:
1)  Si C = [a; b]  
   C’ = [a; b]
2)  Si C = (a; b)  
  C’ = [a; b]
3)  Si C =
  
   C’ =
    
4)  Si  C = [a; b)  
  C’ = [a; b]
1.22. Teorema 1.1.
Si a es un punto de acumulación del conjunto C, entonces, cualquier entorno del punto a
tiene infinitos puntos de C.
Ejemplo 1.10.
Sea
, el entorno reducido
de centro 5 y
radio
,  contiene infinitos puntos de A, ya que, todos los puntos en el intervalo
pertenecen al conjunto A.
1.23.  Teorema 1.2 (de Bolzano-Weierstrass)
Si un conjunto infinito está acotado, entonces, dicho conjunto tiene por lo menos un punto
de acumulación.
Ejemplos 1.11.
1)  El conjunto
es un conjunto acotado y todos los puntos en el
intervalo
son puntos de acumulación de B.
2)  Sea el conjunto
. C es un conjunto acotado y tiene
infinitos puntos de acumulación, dichos puntos son los del intervalo
1.24.  Ejercicios propuestos
Representar gráficamente los siguientes conjuntos de números reales. Hallar el máximo,
mínimo, conjunto mayorante y el conjunto minorante en cada caso, si existen.  
1)
2)
3)
4)
5)
6)
CC???/5Uxxx?aC??/611Axxx?;,;,;,;;abbaabyab???????
1.25.  Conjunto cerrado.
Un conjunto al cual pertenecen todos sus puntos de acumulación se denomina cerrado. Es
decir, un conjunto es cerrado, si y sólo si, le pertenecen todos sus puntos de acumulación.
es cerrado
(a punto de acumulación de C
a
)
Ejemplos 1.12.
1)  El conjunto
de los números reales es cerrado pues le pertenecen todos sus puntos de
acumulación los cuales son los números reales.
2)  Un intervalo cerrado como su nombre lo indica es un conjunto cerrado.
Además, cualquier conjunto que no tiene punto de acumulación es un conjunto cerrado.
En efecto, sea C un conjunto que no tiene punto de acumulación. Para que C sea un
conjunto cerrado debe ser verdadera la siguiente implicación:
“Si a es un punto de acumulación de C, entonces a pertenece a C
Pero hemos supuesto que el conjunto C no tiene puntos de acumulación, por lo tanto, el
antecedente de dicha implicación es falso y así la implicación es verdadera, pues cualquier
implicación con antecedente falso es verdadera
5
Los conjuntos
y
son conjuntos cerrados, pues ellos no tienen puntos de
acumulación. El conjunto
es un conjunto cerrado, pues no tiene puntos de
acumulación.
Un conjunto no es cerrado, si y sólo si, tiene un punto de acumulación que no le
pertenece.
C no es cerrado
a / (a es punto de acumulación de C
Ejemplos 1.13.
El conjunto
de los números racionales no es cerrado pues sus puntos de acumulación
son los números reales y de estos los números irracionales no pertenecen al conjunto
El conjunto
no es cerrado, ya que, el 6 es un punto de
acumulación de A y no pertenece a ese conjunto. Además, cualquier intervalo abierto es un
conjunto abierto. En general, los intervalos
, con a< b, a, b
no son conjuntos cerrados.
1.26.  Teorema 1.3
La intersección de dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
Ejemplos 1.14.
1)  Considerando los conjunto cerrados
y
, entonces,
lo verifica que la
intersección de éstos dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. 
                                                
5
La lógica proposicional asegura que el valor de verdad de la implicación de una proposición cuyo antecedente es
falso es verdadero.     
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