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Teoría de Conjuntos



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/510Axxx?/512Bxxx?/510ABxxx?????????23/9Axxx?/511Bxxx?23/11ABxxx???????/37Cxxx?/810Dxxx?/(37810).CDxxxx??23;9A5;11B2233;95;11;11AB??830;??/7Uxxx????
2)  Dados los conjuntos
y
, luego,
el cual es un conjunto cerrado.
1.27.  Teorema 1.4
La unión de dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
Ejemplos 1.15.
1)
La unión  de  los conjuntos  cerrados
y
es  un  conjunto  cerrado, en efecto,
y
es un conjunto cerrado.
2)
Sean los conjuntos
, entonces,
el cual es un conjunto cerrado
3)
La unión de los conjuntos
y
es un conjunto cerrado pues
y
es
cerrado.  
4)
Dados los conjuntos
y
,
entonces,
Una consecuencia del teorema 1.4 es: “la unión de dos intervalos cerrados es un conjunto
cerrado”. Más aún, la unión de más de dos intervalos cerrados es un conjunto cerrado. En efecto,
los conjuntos A y B del los ejemplos anteriores se pueden expresar en natación de intervalo de las
siguientes maneras:
y
, entonces,
  y éste
último es un conjunto cerrado.
1.28.  Conjunto compacto.
Un conjunto es compacto, si y sólo si, es un conjunto cerrado y acotado.
Ejemplos 1.16.
1)
El intervalo
es un conjunto compacto, pues es un conjunto cerrado y acotado.
2)
El conjunto
de los números reales no es compacto, porque, no está acotado.
3)
El conjunto
de los números naturales no es compacto por la misma razón que el
ejemplo anterior.
4)
El conjunto
es un conjunto compacto, ya que, es un conjunto
cerrado y acotado.
1.29.  Conjunto denso en sí.
Un conjunto es denso en sí, si y sólo si, todos sus puntos son de acumulación.
Ejemplos 1.17.
1)
Como todos los puntos del conjunto
son puntos de acumulación, 
es denso en sí.
2)
El conjunto
de los números racionales es denso en sí, pues todos sus puntos son de
acumulación.
???.??;;.abab?aC,?.??.??59;1594;74;7.?;ab;ab?????2;43;72;43;72;7?
3)
Los conjuntos
y
no son conjuntos denso en sí, porque, ninguno de sus puntos
son de acumulación.
1.30.  Conjunto perfecto.
Un conjunto es perfecto, si y sólo si, es cerrado y denso en sí. Si un conjunto es igual a su
conjunto derivado, entonces, es un conjunto perfecto.
Ejemplos 1.18.
1)
El conjunto
es perfecto pues
2)
Cualquier intervalo cerrado es un conjunto perfecto pues
3)
El conjunto
no es perfecto, pues es denso en sí pero no cerrado. 
1.31.  Punto interior: Un punto
, es un punto interior de C, si y sólo si, existe un entorno
de a totalmente incluido en C.
Ejemplos 1.19. 
1)
Con respecto al conjunto
cualquier número real es interior a
2)
Un número racional no es interior a
, porque, todo entorno de un número racional
contiene números irracionales que no pertenecen a
1.32.  Conjunto abierto.
Un conjunto C es abierto, si y sólo si, todos sus puntos son interiores.
Ejemplos 1.20.
1)
El conjunto
es abierto pues todos sus puntos son interiores.  
2)
El intervalo abierto
es un conjunto abierto, porque, todos los puntos de   dicho
intervalo son interiores. Recuerde que los números
y 1 no pertenecen al conjunto.
3)
El intervalo
no es abierto, ya que, cualquier entorno de 4 no está totalmente
incluido en
4)
Es de observar que el conjunto
de los números reales es un conjunto abierto y
cerrado. Igualmente el conjunto vacío
es un conjunto abierto y cerrado. Los
intervalos
y
no son conjuntos  ni abiertos ni cerrados.
1.33.  Teorema 1.5
La unión de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
Ejemplos 1.21.
1)
Sean los conjuntos
. Entonces,
y
es un conjunto abierto.
2)
Consideremos los intervalos:
y
, luego,
y éste
último es un conjunto abierto.
58;658;6;???.?.?/(42),Cxxxx?/(13),Dxxxx?C/29.Cxxx?2;9/29.Cxxx?/(370).Bxxxx?.BB34;2.
1.34.  Teorema 1.6
Si un conjunto es abierto, su complemento es cerrado.
Ejemplos 1.22.
1)
El intervalo
es un conjunto abierto, porque, su complemento es
el cual es un conjunto cerrado pues todos sus puntos de
acumulación le pertenecen.
2)
El conjunto
es abierto pues su complemente es
y éste es un conjunto cerrado.
3)
El conjunto
es abierto pues su complemento es
el cual es un conjunto cerrado.
1.35.  Punto aislado: Un punto a, que pertenece a un conjunto C, es un punto aislado, si y sólo
si, existe un entorno reducido de a, al cual no pertenece ningún punto del conjunto C.
Ejemplos 1.23.
1)
Todos los números naturales son puntos aislados en el conjunto
2)
Los números enteros son puntos aislados en el conjunto
  
3)
En el conjunto
2 es un punto aislado.
4)
En el conjunto
-1 y 3 son puntos aislados.
1.36.  Punto adherente: Un punto a es un punto adherente al conjunto C, si y sólo si, a cualquier
entorno de a pertenece por lo menos un punto de C.
Hay que destacar que si un punto pertenece al conjunto, aunque éste sea aislado, es un
punto adherente; la definición solamente exige que en todo entorno haya un punto del conjunto
que puede ser el centro del mismo.
1.37.  Adherencia: La adherencia de un conjunto C, es el conjunto formado por todos los puntos
de adherencia a C, y se designa
.
Ejemplos 1.24.
1)
Consideremos el conjunto
Todos los puntos del intervalo
cerrado
son puntos adherentes al conjunto A, por lo tanto, se tiene que:
  
2)
Sea el conjunto
En este caso
1.38.
Punto exterior: Un punto a es exterior a un conjunto C, si y sólo si, existe un entorno del
mismo al cual no pertenece ningún punto del conjunto C.
Ejemplos 1.25.
1)
El punto
es exterior al conjunto de los números reales positivos.
2)
El punto 0 es exterior al segmento
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